高中数学（人教A版）必修2练习：2.3.3 直线与平面、平面与平面垂直的性质（含答案）

2.3.3 直线与平面、平面与平面垂直的性质

1．平面α⊥平面β，直线a∥α，则( ) A．a⊥β B．a∥β

C．a与β相交 D．以上都有可能

2．若两个平面互相垂直，在第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b，那么( )

A．直线a垂直于第二个平面 B．直线b垂直于第二个平面

C．直线a不一定垂直于第二个平面 D．过a的平面必垂直于过b的平面

3．已知平面α⊥平面β，则下列命题正确的个数是( ) ①α内的直线必垂直于β内的无数条直线；

②在β内垂直于α与β的交线的直线垂直于α内的任意一条直线； ③α内的任何一条直线必垂直于β；

④过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．在空间，下列命题正确的是( ) A．平行直线的平行投影重合

B．平行于同一直线的两个平面平行 C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行 5．如图K2-3-6，ABCD -A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是( )

图K2-3-6

A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD

C．AC1⊥平面CB1D1

D．异面直线AD与CB1角为60°

6．已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，并且PA＝6，AB＝3，AD＝4，则点P到BD的距离是( )

6 29

A.5 B．6 29 C．3 5 D．2 13

7．已知△ABC所在平面外面一点V，VB⊥平面ABC，平面VAB⊥平面VAC平面． 求证：AC⊥BA.

8．如图K2-3-7，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.则以

下命题中：

图K2-3-7

①点H是△A1BD的垂心； ②AH垂直平面CB1D1； ③AH的延长线经过点C1； ④直线AH和BB1所成角为45°；

其中正确的命题的序号是____________． 9．在棱长为a的正方体ABCD -A1B1C1D1中，A到平面B1C的距离为________，A到平面

BB1D1D的距离为________，AA1到平面BB1D1D的距离为________．

10．如图K2-3-8，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，CE＝CA＝2BD，M是

EA的中点，求证：

(1)DE＝DA；

(2)平面BDM⊥平面ECA； (3)平面DEA⊥平面ECA.

图K2-3-8

2．3.3 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1．D 2.C

3．B 解析：画正方体验证α内可以有直线不与β垂直，或平行或相交，③错误． 4．D 5.D 6.A

7．证明：如图D58，过点B作BD⊥VA于D. ∵平面VAB⊥平面VAC， ∴BD⊥平面VAC.∴BD⊥AC. 又∵VB⊥平面ABC，∴VB⊥AC. 又∵BD∩VB＝B，∴AC⊥平面VBA. ∴AC⊥BA.

图D58

22

8．①②③ 9.a 2a 2a

10．证明：(1)如图D59，取EC 中点F ，连接DF. ∵EC⊥平面ABC，BD∥CE， ∴DB⊥平面ABC.

图D59

∴DB⊥AB，EC⊥BC.

1

∵BD∥CE，BD＝2CE＝FC， ∴四边形FCBD是矩形，DF⊥EC. 又BA＝BC＝DF，

∴Rt△DEF≌Rt△ABD，故DE＝DA. (2)取AC 中点N，连接MN，NB，

11

∵M是EA的中点，∴MN綊2EC.由BD綊2EC， 且BD⊥平面ABC，可得四边形MNBD是矩形． 于是DM⊥MN.

∵DE＝DA，M是EA的中点，∴DM⊥EA. 又EA∩MN＝M，∴DM⊥平面ECA. 而DM?平面BDM， 则平面BDM⊥平面ECA.

(3)∵DM⊥平面ECA，DM?平面DEA，