成考专升本高数二课堂笔记

可表示为A与一个无穷小量之和。

注意：

（1）无穷小量是变量，它不是表示量的大小，而是表示变量的变化趋势无限趋于为零。 （2）要把无穷小量与很小的数严格区分开，一个很小的数，无论它多么小也不是无穷小量。

（3）一个变量是否为无穷小量是与自变量的变化趋势紧密相关的。在不同的变化过程中，同一个变量可以有不同的变化趋势，因此结论也不尽相同。

例如：

振荡型发散

（4）越变越小的变量也不一定是无穷小量，例如当x越变越大时，但它不是无穷小量。

就越变越小，

（5）无穷小量不是一个常数，但数“0”是无穷小量中惟一的一个数，这是因为 2.无穷大量（简称无穷大）

。

定义；如果当自变量增大），则称在该变化过程中，

（或∞）时，的绝对值可以变得充分大（也即无限地

。

为无穷大量。记作

注意：无穷大（∞）不是一个数值，“∞”是一个记号，绝不能写成或。

3.无穷小量与无穷大量的关系

无穷小量与无穷大量之间有一种简单的关系，见以下的定理。

定理1.11 在同一变化过程中，如果为无穷大量，则为无穷小量；反之，

如果 为无穷小量，且，则为无穷大量。

当无穷大

无穷小

当为无穷小

4.无穷小量的基本性质

无穷大

性质1 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；

性质2 有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量。

性质3 有限个无穷小量的乘积是无穷小量。

性质4 无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。 5.无穷小量的比较

定义 设是同一变化过程中的无穷小量，即。

（1）如果则称是比较高阶的无穷小量，记作；

（2）如果则称与为同阶的无穷小量；

（3）如果则称 与为等价无穷小量，记为；

（4）如果则称是比较低价的无穷小量。

当

等价无穷小量代换定理：

如果当时，均为无穷小量，又有且

存在，则。

均为无穷小

又有

这个性质常常使用在极限运算中，它能起到简化运算的作用。但是必须注意：等价无穷小量代换可以在极限的乘除运算中使用。 常用的等价无穷小量代换有：

当时，

sinx～x; tan～x; arctanx～x; arcsinx～x;

（六）两个重要极限 1.重要极限Ⅰ

重要极限Ⅰ是指下面的求极限公式