江苏省苏州四校2012届高三12月联考数学试题

江苏省苏州四校2012届高三数学联考试题

2011.12.10

一．填空题

1. 已知：A=?x,y?x?y?0，B=?x,y?x?y?2，则A∩B=_________.??1,?1?? 2．设复数z满足(z?i)(1?i)?1?i，（i是虚数单位），则复数z的模z? .2 3． 已知U???????x,y?x?y?6,x?0,y?0?,A???x,y?x?4,y?0,x?2y?0?

2 92，则a100= ．40 5若向区域U上随机投掷一点P，则点P落入区域A的概率为 4．已知数列{an}对于任意p.q?N*有ap+aq=ap+q，若a1=5．函数y?cosx?3sinxsin(x?23?)的最小正周期T? . ? 2x6.已知函数f(x)?3的零点x0??a?x?5,b?，且b?a?1，a，b?N?，则

a?b? .3

7．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果T为 ．62250 8．已知函数f(x)?lnx?2xf?(1)(x?0)，其中f?(x)是f(x)的导函数，则在点P(1,f(1))处的切线方程为 。x?y?1?0 9.已知关于x的一元二次不等式ax?2x?b?0的解集为

2T←0

I←2

While I?500 T←T+I I←I+2 End Whlie Print T

第7题图

1a2?b2?7{x|x??}，则（其中a?b）的最小值

aa?b为 .6

10. 已知正四棱锥S－ABCD中，SA＝1，则该棱锥体积的最大值为 . 2 611．?ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2OA?AB?AC?0，|OA|?|AB|，则

????????CA?CB? ．3

x2y212．已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)，两焦点为F1,F2，过F2作x轴的垂线交双曲线于

abA,B两点，且?ABF1内切圆的半径为a，则此双曲线的离心率为________

1?5 2第1页

13.等腰三角形ABC的周长为32，则△ABC腰AB上的中线CD的长的最小值 .1 14．已知数列{an}的通项公式为an?1,若an,an?2,an?k(k?N*,k?2)成等差数列，则k的n取值集合是_________________?5,6,8,12?.

二．解答题

15． (本题满分14分) 设?ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，

且bcosC?a?1c.（1）求角B的大小； 2（2）若b?1，求?ABC的周长l的取值范围.

解：（1）方法一：在?ABC中，有sinA?sin(B?C)?sinBcosC?cosBsinC 由正弦定理得：a?bcosC?ccosB 又bcosC?a? ?c?cosB?1c, 211?c?，即0cosB?， 又B为?ABC的内角，?B? 22311方法二：由bcosC?a?c,得sinBcosC?sinA?sinA?sinBcosC?cosBsinC

2211?即：sinC?cosBsinC,?sinC?0,?cosB? ?B?

223（2）由正弦定理得：a?bsinA2bsinC2?sinA,c??sinC sinBsinB33?l?a?b?c?1?22(sinA?sinC)?1??sinA?sin(A?B)? 33?1?2sin(A?)

6 ?B????2?,?A??0,3?3???5??,?A???,?6??66?? ? ?sinA(???1??)??, 16?2?)??2,3? 故?ABC的周长l的取值范围?2,3?

于是l?1?2sin(A?

?6DCGAFB第2页 E

16．(本题满分14分)如图，四边形ABCD为矩形，AD?平面ABEAE?EB?BC?2, F为CE上的点，且BF?平面ACE，BD?AC?G. （1）求证：AE?平面BCE； （2）求证：AE//平面BFD； （3）求四面体BCDF的体积

证明：（1）∵AD?平面ABE,AD//BC，

∴BC?平面ABE,∴AE?BC. 又 ∵BF?平面ACE, ∴BF?AE， ∵BC?BF?B,∴AE?平面BCE

（2）连结 GF，∵BF?平面ACE, ∴BF?CE

∵ BE?BC, ∴F为EC的中点；∵ 矩形ABCD中， G为AC中点， ∴ GF//AE. ∵ AE?面BFD，GF?面BFD， ∴AE//平面BFD. （3）

2 317. (本题满分14分)已知某公司生产品牌服装的年固定成本是10万元，每生产千件，须另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为

?x210.8?(0?x?10)??30R（x）万元，且R(x)? （1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千1081000??(x?10)2?3x?x件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最

大？ （注：年利润=年销售收入－年总成本）

x3?10 解：（1）当0?x?10时,W?xR(x)?(10?2.7x)?8.1x?30

当x?10时,W?xR(x)?(10?2.7x)?98?1000?2.7x 3x

?x38.1x??10(0?x?10)??30?W??

1000?98??2.7x(x?10)?3x?

第3页

x2?0,得x?9 （2）①当0?x?10时,由W??8.1?10

又当x?(0,9)时,W??0,

当x?(0,9)时,W??0当x?9时,Wmax?8.1?9?②当x>10时

1?93?10?38.6 30

W?98?当且仅当

100010001000?2.7x?98?(?2.7x)?98?2?2.7x?38 3x3x3x

1000100?2.7x时,即x?时,W?38 3x9由①②知，当x=9千件时，W取最大值38.6万元.

22xy13

18. (本题满分16分)已知椭圆C：a2+b2=1(a＞b＞0)的离心率为2，且经过点P(1，2).A,B

分别是椭圆C的左右顶点，M为椭圆上一点，直线AM,BM分别交椭圆右准线L于P,Q两点 （1）求椭圆C的方程； （2）求AP?BQ的值 （3） 求PQ的最小值

x2y2??1 （1）椭圆C的方程43（2）AP?BQ=21

（3）由（2）yp?yq?9,?yp?yq?6，PQ的最小值为6 19. (本题满分16分) 设函数f?x??x?bln?x?1?.

2（1）若x=1时，函数f?x?取最小值，求实数b的值；

（2）若函数f?x?在定义域上是单调函数，求实数b的取值范围； （3）若b??1，证明对任意正整数n，不等式

1111f()＜1???......?都成立 ?333k23nk?1n解:（1）由x + 1＞0得x＞ – 1∴f(x)的定义域为( - 1，+ ∞),

对x∈ ( - 1，+ ∞),都有f(x)≥f(1)，∴f(1)是函数f(x)的最小值，故有f/ (1) = 0,

f/(x)?2x?bb,?2??0,解得b= - 4. 经检验，列表（略），合题意； x?12第4页