线性代数第三章习题作业分章节

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第三章：矩阵的秩与线性方程组

第一节 矩阵的初等变换及其标准型

一、填空

?1213?1. 矩阵??2421?? 的标准型为 .

??3634??2. 在矩阵A 的左侧乘相应的初等矩阵相当于对矩阵A 做初等 变换。

?123?3. 矩阵??221??? 的逆矩阵为 .

?343??二、选择

1．设A是n阶方阵，X是n?1矩阵，则下列矩阵运算中正确的是( ) A. XTAX B. XAX C. AXA D. XAXT

?b1c1??b2c2??010?2．设矩阵A??a1?abb?22c?1c?，P???a3bc?，B??a22?a?100?133???1?a3b3c?3????001?中，则有（??A. AP2?B

B. P2A?B C. AP?B

D. PA?B

3. 下列矩阵哪个为初等矩阵（ ）．

?100??A．??020?? B．?111??1?10??100??010?? C．??010?? D．??010??

??003????001????001????000??三、判断题 （T）or (F)

1. A总可以经过初等变换化为单位矩阵E. ( ) 2. 对矩阵?A?E?施行若干次初等变换，当A变为E时，相应的E变为A?1. ( )

3. 初等矩阵一定是可逆矩阵. ( ) 4. 设A,B为同阶可逆矩阵，则存在可逆矩阵P和Q，使PAQ?B. ( ) 四、把下列矩阵化为行最简形矩阵.

?102?1．?1??2031?? ??3043??

1

）

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?123???五、用初等矩阵将A??024?化为标准形的过程表示出来.

?000???

六、利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵.

?3?34???1．?2?34?

?0?11???

七、利用初等变换求解下列矩阵方程

?23?1??21?????1．设A??120?，B???10?, 求X使AX?B.

??12?1??30?????

2

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?21?1????102?0?,B??2. 设A??21?210??, 求X使XA?B.

???1?11???

第二节 矩阵的秩 一、填空

?132?1?1. 若矩阵A???2?6?3?393a???133?5????5?与矩阵B??123?1?等价，则a＝____. ??1037????2. 设A,B都是n阶非零方阵，且AB?0,则 . 3. 设A是n阶非奇异矩阵，则 ___.

4．设m?n矩阵A，且R(A)?r，D为A的一个r?1阶子式，则D?_____.

?1?1?1???5．矩阵?0?1?1?的秩等于_________.

?00?1????11?610???6. 已知A??25k?1?，且其秩为2，则k?______．

?12?1k???7. 设A为n阶矩阵， R(A)?n?1，R(A)=_ _． 二、选择

1. 设A,B均为3阶矩阵，若A可逆， R(B)?2，那么R(AB)?（ ）

3

*班级： 姓名： 学号：

A．0 C．2 B．1 D．3

2. 已知A有一个r阶子式不等于零，则R(A)? ( ) A. r B. r?1 C. ?r D. ?r

3. 设A为3?4矩阵，若矩阵A的秩为2，则矩阵3A的秩等于（ ） TA．1 B．2 C．3 D．4

4.设A是n阶阵，且AB?AC，则由( )可得出B?C.

A. A?0 B. A?0 C. R(A)?n D. A为任意n阶矩阵?5.设矩阵A??111??121??的秩为2，则??（ ） ??23??1??A.2

B.1 C.0

D.-1

?16.若A＝?24??2?1??为使矩阵A的秩有最少值，则?应为（ ）

??110??（A）2； （B）－1; (C)914; (D)2; 三、判断题 （T）or (F)

1. 设A,B均为二阶方阵，若矩阵的秩R?A??R?B??1,则A,B均与??1??02. A与B等价的充要条件是R?A??R?B?. 3. 设A为m?n矩阵，R?A??m?n，则A的任意m阶子式不等于0. ( ) 4. 从矩阵A中划去一行得到矩阵B,则R?B??R?A??1. ( ) 5. 设B是可逆矩阵，C?AB,则R?A??R?C?. ( ) 四、求下列矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式.

?1.?13?93??01?34??? ??2?396?? 4

0?1??等价. ( )

?( )