山东省济宁市梁山一中高中数学《2.2.4平面与平面平行的性质》学案 新人教A版必修2

2.2.4 平面与平面平行的性质学案

一．学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面平行的性质，掌握面面平行的性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”“面面”平行的转化.

二．重点、难点： 重点： 难点：

三．知识要点： 1. 面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行. 用符号语言表示为：?//?,?I??a,?I??b?a//b.

2. 其它性质：①?//?,l???l//?； ②?//?,l???l??； ③夹在平行平面间的平行线段相等.

A四．自主探究：

（一）例题精讲： ?【例1】如图，设平面α∥平面β，AB、CD是两异面直线，M、N分别是AB、

MCD的中点，且A、C∈α，B、D∈β. 求证：MN∥α. E证明：连接BC，取BC的中点E，分别连接ME、NE， 则ME∥AC，∴ ME∥平面α，

?B又 NE∥BD， ∴ NE∥β，

又ME∩NE=E，∴平面MEN∥平面α， ∵ MN?平面MEN，∴MN∥α.

【例2】如图，A，B，C，D四点都在平面?，?外，它们在?内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，在?内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，求证：ABCD是平行四边形．

证明：∵ A，B，C，D四点在?内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上， ∴A，B，C，D四点共面．

又A，B，C，D四点在?内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点， ∴平面ABB1A1∥平面CDD1C1．

∴AB，CD是平面ABCD与平面ABB1A1，平面CDD1C1的交线． ∴AB∥CD．

同理AD∥BC． ∴四边形ABCD是平行四边形． 【例3】如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F、G是侧面对角线上的点，且BE?CF?AG，求证：平面EFG∥平面ABC.

证明：作EP?BB1于P，连接PF. 在正三棱柱ABC—A1B1C1的侧面ABB1A1中，

BEBP易知A1B1?BB1，又EP?BB1，所以EP//A1B1//AB. ∴ ，?EP//平面ABC.

BA1BB1CFBP又∵ BE?CF，BA1?CB1， ∴ ，∴ PF//BC，则PF//平面?CB1BB1ABC.

∵ EPIPF?P，∴ 平面PEF//平面ABC.

∵ EF?平面PEF， ∴ EF//平面ABC. 同理，GF//平面ABC. ∵ EFIGF?F，∴ 平面EFG//平面ABC.

点评：将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，关键在于选择或添加适当的平面或线，并抓住一些平面图形的几何性质，如比例线段等. 此题通过巧作垂线，得到所作平面与底面平行，由性质?//?,l???l//?易得线面平行，进而转化出待证的面面平行，突出了平行问题中转化思想.

【例4】如图，已知正方体ABCD?A1B1C1D1中，面对角线AB1，BC1上分别有两点E、CNDF，且B1E?C1F. 求证：EF∥平面ABCD.

证明：过E、F分别作AB、BC的垂线，EM、FN分别交AB、BC于M、N，连接MN. ∵ BB1⊥平面ABCD， ∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴ EM∥BB1，FN∥BB1， ∴EM∥FN， ∵ AB1=BC1，B1E=C1F，∴AE=BF， 又∠B1AB=∠C1BC=45°， ∴ Rt△AME≌Rt△BNF，∴EM=FN.

A1∴ 四边形MNFE是平行四边形，∴EF∥MN. 又MN?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD. E证法二：过E作EG∥AB交BB1于G，连接GF，

D1B1FEGDC1CNBBEBGCFBGM ∴1?1，B1E?C1F，B1A?C1B，∴1?1， ∴FG∥B1C1∥BC. AB1AB1BC1BB1B 又∵EGIFG=G，ABIBC=B，∴平面EFG∥平面ABCD. b又EF?平面EFG，∴EF∥平面ABCD.

点评：在熟知线面平行、面面平行的判定与性质之后，空间平行问题的证明，紧紧抓住“线线平行?线面平行?面面平行”之间的互相转化而完成证明.

五．目标检测： （一）基础达标

1．下列说法正确的是（ ）.

A. 如果两个平面有三个公共点，那么它们重合

B. 过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行 C. 在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行 D. 如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行 2．已知?∥?，a??,B??, 则在?内过点B的所有直线中（ ）. A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一一条与a平行的直线 3．下列说法正确的是（ ）.

A. 直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行

B. 经过两条平行线中一条有且只有一个平面与另一条直线平行 C. 经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行 D. 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行

4．在正方体ABCD?A'B'C'D'中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是（ ）. A. BDC'与B'D'C B. A'BC'与ACD' C. B'D'D与BDA' D. A'DC'与AD'C

5．已知平面?//平面?，P是?,?外一点，过点P的直线m与?,?分别交于点A,C，过点P的直线n与?,?分别交于点B,D，且PA?6，AC?9，PD?8，则BD的长为（ ）.

24 A.16 B. 24或 C. 14 D. 20

56．已知平面α∥β，a??，有下列说法：① a与β内的所有直线平行；② a与β内无数条直线平行；③ a与β内的任意一条直线都不垂直. 其中正确的序号依次是 .

7．设平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于S，若AS=18，BS=9，CD=34，则SC=_ .

（二）能力提高

8．如图，设平面α∥平面β，AB、CD是两异面直线，且A、C∈α，B、D∈β，AAC⊥BD，AC=6，BD=8. M是AB的中点，过点M作一个平面γ，交CD与N，且?//?，

?求线段MN的长.

ME

?B

CND

9．已知平面?,?,?，且?//?，?//?，求证：?//?．

（三）探究创新

10．如图甲，在透明塑料制成的长方体ABCD—A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：

①水的部分始终呈棱柱状；

②水面四边形EFGH的面积不改变； ③棱A1D1始终与水面EFGH平行；

④当容器倾斜如图乙时，EF·BF是定值. 其中正确说法的序号是_____________.