四川省岳池县第一中学高中数学1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质导学案理（无答案）新人教A版选修2 - 3

§1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质

学习目标

1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；

2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；

3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.

课前预习案

教材助读

（预习教材P32~ P35，找出疑惑之处）

复习1：写出二项式定理的公式：

r⑴ 公式中Cn叫做 ， 二项展开式的通项公式

是 ，用符号 表示 ，通项为展开式的第 项.

⑵ 在(a?b)n展开式中，共有 项，各项次数都为 ，a的次数规律是 ，

b的次数规律是 ，各项系数分别是 .

?2?x??复习2：求??? 展开式中的第4项二项式系数和第4项的系数.

x??

课内探究案

一、新课导学

探究点一：杨辉三角

问题1：在(a?b)展开式中，当n＝1，2，3，?时，各项的二项式系数有何规律？

n10?a?b?1 ?a?b?2 ?a?b?3 ?a?b?4 ?a?b?5 ?a?b?6

新知1：上述二项式系数表叫做“杨辉三角”，表中二项式系数关系是

探究任务二 二项式系数的性质

r问题2：设函数f?r??Cn，函数的定义域是 ，函数图象有何性质？（以

1

n＝6为例）

探究点二：二项式系数的性质

⑴ 对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,图象的对称轴是r?

试试：

① 在(a＋b)展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是( ) A 第２项 B 第３项 C 第４项 D 第５项

② 若a?bn的展开式中，第三项的二项式系数与 第五项的二项式系数相等，则n＝ .

反思：为什么二项式系数有对称性？

⑵ 增减性与最大值 ：从图象得知，中间项的二项式系数最 ，左边二项式系数逐渐 ，右边二项式系数逐渐 .

当n是偶数时，中间项共有 项，是第 项，它的二项式系数是 ，取得最大值；

当n是奇数时，中间项共有 项，分别是第 项和第 项，它的二项式系数分别是 和 ，二项式系数都取得最大值.

试试：(a?b)的各二项式系数的最大值是

⑶ 各二项式系数的和：

n01rn在(a?b)展开式中，若a?b?1，则可得到 Cn?Cn?????Cn?????Cn?

n6n. 2??12rn即 Cn?Cn?????Cn?????Cn?

二、合作探究

例1求?1?2x?的展开式中系数最大的项．

变式：在二项式(x-1)的展开式中, ⑴ 求二项式系数最大的系数的项； ⑵ 求项系数最小的项和最大的项.

小结：在(a?b)展开式中， 要正确区分二项式系数和项系数的不同，可以利用通项公式，找到二项式系数和项系数的关系来达到目的.

例2 证明：在(a?b)展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.

2

nn1110

13511变式：⑴ 化简:C11 ; ?C11?C11?????C11012n⑵ 求和：Cn. ?2Cn?22Cn?????2nCn

小结：取特殊值法（又称赋值法）在解决有关二项式系数和时经常使用的一种 ，除此之外还有倒序相加法.

※ 动手试试

练1. ① 在(1+x)的展开式中，二项式系数最大的是第 项为 ；（用符号表示即

可） ② 在(1-x)的展开式中，二项式系数最大的是 第 项为 . （用符号表示即可）

练2. 若?1?2x??a0?a1x?a2x2?????a7x7，

71110则a1?a2?????a7? ，a1?a3?a5?a7?

a0?a2?a4?a6? .

【归纳总结】 ※ 学习小结 ?对称性1. 二项式系数的三个性质?

?增减性与最大值 ?各二项式系数的和?

2. 数学方法 ： 赋值法和递推法

※ 知识拓展

早在我 国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里这个表称为杨辉三角。杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右. 三、当堂检测

1??1. 在?x??的展开式中，系数最大的项是

x??第 项；

2. 在?1?x?的展开式中，二项式系数最大的是 第 项，项系数最小的项是第 项；

1293. 计算310?39C10?38C10???3C10?1=

9912 3

294. 若?1?2x??a0?a1x?a2x???a9x，则 a1?a2???a9＝ ；

9

01nCn?Cn?????Cn5. 化简：0? 1n?1Cn?1?Cn?1?????Cn?1

四、课后反思

课后训练案

?x3??展开式的中间一项； ?1. ⑴ 求??3x??? ⑵ 求xy?yx

2. 已知?1?x?的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，求这两项的二项式系数.

n12??15展开式的中间两项.

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