导数及其应用作业1

北京市各地2015届高三上学期考试数学理试题分类汇编

导数及其应用

1、（昌平区2015届高三上学期期末）已知函数f (x) ＝ln x－a2x2＋ax (a∈R)．

( I ) 当a＝1时，求函数f (x)的单调区间；

( II ) 若函数f (x)在区间 (1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围．

ax2、（朝阳区2015届高三上学期期末）设函数f(x)?ex2?1,a?R． （Ⅰ）当a?35时,求函数f(x)的单调区间； （Ⅱ）设g(x)为f(x)的导函数，当x?[1e,2e]时，函数f(x)的图象总在g(x)的图象的上方，

求a的取值范围．

3、（大兴区2015届高三上学期期末）已知f(x)?ax?2(x?1)2(a?0).

（Ⅰ）若a?1，求f(x)在x?1处的切线方程；

（Ⅱ）确定函数f(x)的单调区间，并指出函数f(x)是否存在最大值或最小值．

4、（东城区2015届高三上学期期末）已知函数f(x)?ax?(2a?1)lnx?2x，g(x)??2alnx?2x，其中a?R．

（Ⅰ）当a?2时，求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）当a?0时，求f(x)的单调区间；

（Ⅲ）若存在x?[1,e2e]，使得不等式f(x)?g(x)成立，求a的取值范围．

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5、（丰台区2015届高三上学期期末）已知函数f(x)?x?e?x?1. （I）求函数f(x)的极小值；

（II）如果直线y?kx?1与函数f(x)的图象无交点，求k的取值范围.

6、（海淀区2015届高三上学期期末）已知函数f(x)?acosx?xsinx，x?[?ππ2,2]. （Ⅰ）判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论； （Ⅱ）求集合A?{x|f(x)?0}中元素的个数；

（Ⅲ）当1?a?2时，问函数f(x)有多少个极值点？（只需写出结论）

7、（石景山区2015届高三上学期期末）已知函数f(x)?lnx?ax?a2x2(a?R且a?0). （Ⅰ）若x=1是函数y=f(x)的极值点，求a的值； （Ⅱ）求函数f(x)的单调区间.

8、（西城区2015届高三上学期期末） 已知函数f(x)?ax2?bx(a?0)和g(x)?lnx的图象有公共点P，且在点P处的切线相同. （Ⅰ）若点P的坐标为(1e,?1)，求a,b的值； （Ⅱ）已知a?b，求切点P的坐标.

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9、（北京四中2015届高三上学期期中）已知函数f(x)?(1?x)2?2aln(1?x)(a?R). （Ⅰ）求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若a?1，x?[0,1]，求函数y?f(x)图象上任意一点处切线斜率k的取值

范围.

310、（北京四中2015届高三上学期期中）已知函数f(x)?ln(2ax?1)?x3?x2?2ax(a?0).（Ⅰ）若x?2为f(x)的极值点，求实数a的值；

（Ⅱ）若y?f(x)在?3,???上为增函数，求实数a的取值范围.

11、（朝阳区2015届高三上学期期中）已知函数f(x)=x2x-a,a?R. (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;

（Ⅱ）若f(x)在(1,2)上是单调函数，求a的取值范围.

12、（东城区示范校2015届高三上学期综合能力测试）已知定义在?1,???上的函数

f?x??x?lnx?2，g?x??xlnx?x。

（I）求证：f?x?存在唯一的零点，且零点属于（3，4）；

（II）若k?Z且g?x??k?x?1?对任意的x?1恒成立，求k的最大值。

13、（海淀区2015届高三上学期期中）已知函数f(x)?2alnx?x2?1. （Ⅰ）若a?1,求函数f(x)的单调递减区间；

（Ⅱ）若a?0，求函数f(x)在区间[1,??)上的最大值； （Ⅲ）若f(x)?0在区间[1,??)上恒成立，求a的最大值.

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参考答案

1、解：（Ⅰ）当a?1时，f(x)?lnx?x2?x，定义域是(0,??).

f'(x)?1x?2x?1， 由f'(x)?0，解得0?x?1；由f'(x)?0，解得x?1；

所以函数f(x)的单调递增区间是?0,1?，单调递减区间是?1,???. …………………5分 （Ⅱ）（法一）

因为函数f(x)在区间(1,??)上是减函数，所以f'(x)?0在?1,???上恒成立， 则

f'(x)?1x?2a2x?a?0，即g(x)?2a2x2?ax?1?0在?1,???上恒成

立. …………………7分

① 当a?0时，g(x)??1?0，所以a?0不成立. …………………9

分

② 当a?0时，g(x)?2a2x2?ax?1，??9a2?0，对称轴x?a4a2. ??g(1)?0???a??2??a??1或a?1?4a2?1，即?g(1)?2a?a?1?02??a?4a2，解得??1 ??a?0或a?4所以实数a的取值范围是a??12,a?1. …………………13分

（法二）f'(x)?1x?2a2x?a??2a2x2?ax?1x，定义域是(0,??).

①当a?0时，f(x)?lnx在区间(1,??)上是增函数，所以a?0不成立. …………………8分

②a?0时，

令f'(x)?0，即2a2x2?ax?1?0，则x1??12a,x12?a， …………………9分

（i）当a?0时，由f'(x)?0，解得x?1a， 所以函数f(x)的单调递减区间是??1?a,?????. 因为函数f(x)在区间(1,??)上是减函数，+所以1a?1，解得a?1. …………………11分

（ii）当a?0时，由f'(x)?0，解得x??12a， 所以函数f(x)的单调递减区间是???1?2a,?????. 因为函数f(x)在区间(1,??)上是减函数，所以?12a?1，解得a??12. 综上实数a的取值范围是a??12或a?1. …………………13分

3x52、（Ⅰ）解：当a?35时，f?(x)?e(3x2?10x?3)5(x2?1)2． 由f?(x)?0得3x2?10x?3?0，解得x?13或x?3； 由f?(x)?0得3x2?10x?3?0，解得

13?x?3． 所以函数f(x)的单调增区间为(??,1),(3,??)，单调减区间为(133,3)． ……………..5分

（Ⅱ）因为g(x)?f?(x)?eax(ax2?2x?a)(x2?1)2， 又因为函数f(x)的图象总在g(x)的图象的上方，

所以f(x)?g(x)，即eaxeax(ax2?2x?a)x2?1?(x2?1)2在x?[1e,2e]恒成立． 4