24.2点和圆、直线和圆的位置关系 第4课时

2．有关定义．

由右上图可以看出，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．

3．思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？ 如右图，假设经过同一条直线l上的A，B，C三点可以作一个圆．设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l，l2⊥l，这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾．所以，经过同一条直线上的三个点不能作圆．

上面证明“经过同一条直线上的三个点不能作圆”的方法与我们以前学过的证明不同，它不是直接从命题的已知得

出结论，而是假设命题的结论不成立（即假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆），由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．这种方法叫做反证法．

反证法的步骤为第一步假设结论不成立；第二步是由结论不成立推出和已知条件或定理相矛盾．第三步是肯定假设错误，故结论成立．

三、巩固练习

1．已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点？

解：如下图．O为外接圆的圆心，即外心．锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部．

锐角三角形 直角三角形 钝角三角形

2．（教材第95页练习3）如下图，CD所在的直线垂直平分线段AB．怎样使用这样的工具找到圆形工件的圆心？

解：因为A、B两点在圆上，所以圆心必与A、B两点的距离相等，又因为和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以圆心在CD所在的直线上．因此使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径．它们的交点就是圆心．

四、课堂小结 本节课应该掌握

1．不在同一条直线上的三个点确定一个圆． 2．三角形的外接圆，三角形的外心等概念． 五、布置作业 习题24.2 第2题．

第3课时

教学内容

24.2．2直线和圆的位置关系（1）． 教学目标

1．理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，了解圆的割线、切线和切点的概念．

2．经历探索直线与圆位置关系的过程，培养学生的探索能力．

3．通过观察得出“圆心到直线的距离d和半径r的数量关系”与“直线和圆的位置关系”的对应与等价，从而实现位置关系与数量关系的相互转化．

4．通过探索直线与圆的位置关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．

教学重点

经历探索直线与圆位置关系的过程，理解直线与圆的三种位置关系． 教学难点

经历探索直线与圆的位置关系的过程，归纳总结出直线与圆的三种位置关系． 教学过程

一、导入新课

师：我们在前面学过点和圆的位置关系，请大家回忆它们的位置关系有哪些？ 生：圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．即圆上的点到圆心的距离等于半径；圆的内部到圆心的距离小于半径；圆的外部到圆心的距离大于半径．因此点和圆的位置关系有三种，即点在圆上、点在圆内和点在圆外．也可以把点与圆心的距离和半径作比较，若距离大于半径在圆外，等于半径在圆上，小于半径在圆内．

过渡：本节课我们将类比地学习直线和圆的位置关系．

二、新课教学

1．复习点到直线的距离的定义．

生：从已知点向已知直线作垂线，已知点与垂足之间的线段的长度叫做这个点到这条直线的距离．

2．探索直线与圆的三种位置关系

师：直线和圆的位置关系，我们在现实生活中随处可见，只要大家注意观察，这样的例子是很多的．如图（1），如果我们把太阳看作一个圆，把地平线看作一条直线，太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种位置关系？由此你能得出直线和圆的位置关系吗？

如图（2），在纸上画一条直线l，把钥匙环看作一个圆．在纸上移动钥匙环，你能发现在移动钥匙环的过程中，它与直线l的公共点个数的变化情况吗？

生：把太阳看作圆，地平线看作直线，则直线和圆有三种位置关系；在纸上移动钥匙环，它与直线l的公共点个数的有相交、相离和相切三种变化情况．

师：从上面的举例中，大家能否得出结论，直线和圆的位置关系有几种呢？ 生：有三种位置关系：

师：直线和圆有三种位置关系，如下图：

它们分别是相交、相切、相离．如图（1），直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．如图（2），直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．如图（3），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．

2．思考：如上图，设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．在直线和圆的不同位置关系中，d与r具有怎样的大小关系？反过来，你能根据d与r的大小关系确定直线和圆的位置关系吗？

根据直线和圆相交、相切、相离的定义，容易得到： 直线l和⊙O相交d＜r； 直线l和⊙O相切d＝r； 直线l和⊙O相离d＞r．

三、巩固练习

1．如下图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向300千米的B处，并以每小时107千米的速度向北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200千米的范围是受台风影响的区域．

（1）A城是否会受到这次台风的影响？为什么？

（2）若A城受到这次台风的影响，试计算A城遭受这次台风影响的时间有多长？

分析：因为台风影响的范围可以看成以台风中心为圆心，半径为200千米的圆，A城能否受到影响，即比较A到直线BF的距离d与半径200千米的大小．若d＞200，则无影响，若d

≤200，则有影响．

解：（1）过A作AC⊥BF于C．

在Rt△ABC中，∵∠CBA＝30°，BA＝300，∴AC＝ABsin30°＝300×＝150(千米)． ∵AC＜200，∴A城受到这次台风的影响．

（2）设BF上D、E两点到A的距离为200千米，则台风中心在线段DE上时，对A城均有影响，而在DE以外时，对A城没有影响．

∵AC＝150，AD＝AE＝200，∴DC＝2002?1502?507， ∴DE＝2DC＝1007． ∴t＝

12s1007＝10(小时)． ?v107答：A城受影响的时间为10小时． 2．教材第96页练习． 四、课堂小结

今天你学习了什么？有什么收获？ 五、布置作业 习题24.2 第7、8题．

第4课时

教学内容

24.2．2直线和圆的位置关系（2）． 教学目标

1．能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线． 2．理解切线的判定定理和性质定理，会用这两个定理解决简单问题．

3．经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力．

教学重点

理解圆的切线的判定定理和性质定理，并能运用它解决简单问题． 教学难点

理解切线的判定定理，用反证法证明切线的性质定理． 教学过程

一、导入新课

上节课我们学习了直线和圆的位置关系，知道了直线和圆有相离、相切、相交三种位置关系．今天我们重点研究直线和圆相切的情况．

二、新课教学

1．探索切线的判定定理．