标题-2017-2018学年高中数学三维设计浙江专版必修1：1.3 函数的基本性质

函数的基本性质

1．3.1 单调性与最大(小)值

第一课时 函数的单调性

预习课本P27～29，思考并完成以下问题 (1)增函数、减函数的概念是什么？ (2)如何表示函数的单调区间？ (3)函数的单调性和单调区间有什么关系？ [新知初探]

1．定义域为I的函数f(x)的增减性

[点睛] 定义中的x1，x2有以下3个特征

(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；

(2)有大小，通常规定x1

2．单调性与单调区间

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

[点睛] 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用11

“和”连接．如函数y＝x在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．

[小试身手]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x2在R上是增函数．( )

(2)所有的函数在其定义域上都具有单调性．( )

(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”．( )

答案：(1)× (2)× (3)×

2.函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是( ) A．[－4,4]

B．[－4，－3]∪[1,4] C．[－3,1] D．[－3,4] 答案：C

3．下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)的是( )

A．f(x)＝x2 C．f(x)＝|x| 答案：B

4．函数f(x)＝－x2－2x的单调递增区间是________． 答案：(－∞，－1]

1

B．f(x)＝

x D．f(x)＝2x＋1

函数单调性的判定与证明 1

[例1] 求证：函数f(x)＝2在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．

x

22

11x2－x1

[证明] 对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1

x1x2x1x2

?x2－x1??x2＋x1?

. 2x21x2

∵x1

2

∴x2－x1>0，x1＋x2<0，x21x2>0.

∴f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)

∴函数f (x)＝2在(－∞，0)上是增函数．

x对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1

?x2－x1??x2＋x1?

. 2x21x2

2

∵00，x2＋x1>0，x21x2>0.

∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)． 1

∴函数f(x)＝2在(0，＋∞)上是减函数．

x

利用定义证明函数单调性的4个步骤

[活学活用]

1

1．证明函数f(x)＝x＋x在(0,1)上是减函数．

1x1＋?－证明：设x1，x2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x1

1

?x2＋1?＝(x1－x2)＋?1－1?＝(x1－x2)＋x2－x1＝

x2???x1x2?x1x2

1??x1－x2??－1＋x1x2?

1－(x1－x2)?. ?x1x2?＝x1x2∵0

∴x1－x2<0,0

?x1－x2??－1＋x1x2?

>0，即f(x1)>f(x2)，

x1x2

1

∴f(x)＝x＋x在(0,1)上是减函数.

求函数的单调区间

[例2] 画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间．

2??－x＋2x＋1，x≥0，

[解] y＝? 2

?－x－2x＋1，x<0，?2??－?x－1?＋2，x≥0，即y＝? 2

?－?x＋1?＋2，x<0.?

函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为(－1,0)，(1，＋∞)．

求函数单调区间的2种方法 法一：定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解． 法二：图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间． [活学活用] 2．如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，则函数f(x)的单调递增区间是________．

解析：由图象知单调递增区间为[－1.5,3]和[5,6]． 答案：[－1.5,3]和[5,6] 3．求函数f(x)＝解：函数f(x)＝

1

的单调减区间． x－1

1

的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， x－1

设x1，x2∈(－∞，1)，且x1

x2－x111

－＝. x1－1x2－1?x1－1??x2－1?

因为x10，x1－1<0，x2－1<0， 所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．

所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，同理函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减． 综上，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞).

函数单调性的应用 题点一：利用单调性比较大小

1．若函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是( ) A．f(a)>f(2a)

B．f(a2)

C．f(a2＋a)

解析：选D 因为f(x)是区间(－∞，＋∞)上的减函数，且a2＋1>a2，所以f(a2＋1)

题点二：利用单调性解不等式

2．已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x＋6)，求实数x的取值范围．

解：∵函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x＋6)，∴2x－3>5x＋6，解得x<－3.∴x的取值范围为(－∞，－3)．

题点三：已知单调性求参数范围

aa

3．已知函数f(x)＝x－x＋在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．

2解：设11.

∵函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数， aaaa

x2－＋? ∴f(x1)－f(x2)＝x1－＋－?x22?x12?a?1＋＝(x1－x2)??x1x2?<0.

a

∵x1－x2<0，∴1＋>0，即a>－x1x2.

x1x2

∵11，∴－x1x2<－1，∴a≥－1. ∴a的取值范围是[－1，＋∞)．

函数单调性的应用 (1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围． (2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的． 层级一 学业水平达标

1．如图是函数y＝f(x)的图象，则此函数的单调递减区间的个数是( )

A．1

B．2