2.三体问题

力学守恒定律在“三体”问题中的应用

无锡市第一中学：张为宏

动量和能量的综合问题，是高中力学中最为重要的综合题，也是难度较大的问题，是学生学好物理的一个“瓶颈”，尤其是两大守恒定律在“三体”问题中应用，使问题更为复杂，要很好地解决这类问题，应首先建立清晰的物体图景，对问题进行分段讨论，一般先选择其中的小系统加以讨论，抽象出物理模型，对照守恒定律条件，选择物理规律，建立方程进行求解。

例1．如图1所示，在光滑水平面上静止着一个质量为M的物体B，B的上面静止着质量为m的物体A，A、B间的动摩擦因数为?，一个质量为m0的小球以水平速度v0碰撞后以撞前速度的

1弹回，求A与B相对静止后它们的速度及A在B上滑行的距离（设5B足够长，A未滑落）。

析与解：小球与物体A发生碰撞，二物总动量守恒（碰撞时间很短，认为B未动），以v0为正方向，有：得v1?m0v0?m0(?v0)?mv1，

156m0 v0，

5m设物体A与物体B相对静止后一起运动的速度为v2，A、B组成的系统动量守恒：

mv1?(m?M)v2， 得v2?6m0v0

5(M?m)A在B上滑行过程，据能的转化与守恒定律，有：?mgs相?1122mv1?(m?M)v2， 22s相18m0v0M? 225m(M?m)?g22点评：系统内有一对摩擦力做功之和（净功）为负值，在数值上等于摩擦力与相对位移的乘积，其绝对值等于系统机械能的减少量，即系统机械能转化为系统的内能（实际上可分别对A和B应用动能定律并相加，总功即为fs相，总动能也等于fs相）。

例2．两辆质量都是M的平板车A和B，中间以轻弹簧连接，如图2，以同一速度v0在光滑的水平面上运动，此时弹簧无形变，今有一质量为m的米袋竖直落下并随车一起运动，求弹簧能够获得的最大弹性势能。

析与解：米袋落到车中时，选米袋和B车为系统，在水平方向上动量守恒，以v0为正方向，有：

Mv0?(M?m)v1①

由于v1?v0，弹簧伸长，此过程中，弹力使A车减速，使B

车与米袋加速，直至两车速度相等时，弹簧达到最大伸长量，此时弹簧的弹性势能最大。

在此过程中，B车（包括米袋）与A车组成的系统动量守恒：

（M?m）v1?Mv0?(M?M?m)v2 ②

因为系统内只有弹力做功，根据机械能守恒定律，此时弹簧的弹性势能：

Ep?111222(M?m)v1?Mv0?(2M?m)v2 ③ 2222Mm2v0由①②③解得：Ep?

2(M?m)(2M?m)点评：有的学生认为米袋掉入B车中，竖直方向速度终为0，而水平方向动能无损失，故：（M?M）v0?12212(M?M?m)v2等于弹簧获得的最大弹性势能，这是错的，在2米袋落入B车时，米袋与B车在水平方向上动量守恒，但这是完全非弹性碰撞，动能有损失，这是解“三体”问题时要注意的地方，即第一阶段动量守恒，而机械能有损失。

例3．在光滑水平面上，有一质量m1?20Kg的小车，通过一根几乎不可伸长的轻绳与另一质量m2=25Kg的拖车连接，一质量m3=15Kg的物体放在拖车的平板上，物体与平板的动摩擦因数??0.2，开始时，拖车静止，绳未拉紧，如图3所示，小车以v0?3ms的速度前进。 求：（1）m1、m2、m3共同前进时，其速度的大小。 （2）物体在拖车平板上移动的距离。

析与解：整个运动过程可分为两个阶段：①绳子被拉紧时，m1与m2获得共同速度，m1与m2系统的动量守恒，但有机械能的损失，此时m3的速度还为0。②

绳子拉紧后，在摩擦力作用下m3加速，m1与m2作为一个整体减速，m3与m2间有相对滑动，直至三者速度相等，一起运动，此阶段系统动量守恒，机械能不守恒，但可由能量守恒定律（或动能定律）求解。

绳刚被拉紧时，设m1与m2的共同速度为v1，m1与m2系统动量守恒，以v0为正方向，有：mv0?(m1?m2)v1，解得：v1?4m s3sv2?1m m1v0?(m1?m2?m3)v2，再对m1、m2、 m3系统，由动量守恒定律得：解得：

绳拉紧后，物体m3在拖车上相对滑动，设为?s,由系统能量守恒可得：

1122(m1?m2)v1??m3g??s?(m1?m2?m3)v2，解得：?s?0.33m 22点评：对“三体”问题，一般可分为两个阶段，第一阶段一般先选择先发生作用的两个物体作为系统，动量守恒而机械能有损失（类似于非弹性碰撞）。第二阶段利用两个守恒定律对问题进行求解。循此思想方法，可推行到多体问题，化难为易。

例4：有一光滑斜槽跟一足够长的光滑水平槽连接，现有n个大小相同、质量均为m的钢球O1、O2、O3、?、On，其中O1位于水平槽A处，其速度v1?0，其余各球相继从斜槽上不同高度的B、C、D?P处由静止开始释放，如图4，且已知它们进入水平槽的速度依次为v2、v3、?vn，试求各钢球的最后速度。

析与解：由于各球从斜槽上不同高度处依次释放，它们进入水平槽时前一球的速度依次小于后一球，即v2?v3?v4???vn(如图5a)。因为钢球间的碰撞可看作弹性碰撞，所以每次正碰前后动量及动能都守恒。

先选钢球O1与O2这一系统为研究对象，第一次碰撞就发生在它们之间，由于m1?m2，两球速度交换，

所以O2速度变为零，O1的速度变为v2(如图5b)。再

选O1、O2、O3这一系统来研究，第二次碰撞发生于O3与O2之间，碰后速度交换，O3速度为零，O2速度为v3,因为v3?v2，O2再与O1碰撞，使O2速度变为v2,O1速度变为v3（如图5c）

再把系统扩大到由O1、O2、O3、O4组成的系统，通过分析不难得出，它们碰撞后的最终速度如图5d所示。可以看出，碰撞后系统中各物体的速度发生了首尾交换。若把系统逐渐扩大，直至扩大到由O1、O2、O3、?O n所组成的大系统，碰撞的最后结果，球O1、O2、O3、?O n的速度必分别依次为vn、vn-1、?v3、v2、

v1?0。

Email:hongse7601@sina.com.cn 2003/10/27