2012中考数学经典几何综合题

∴ △ADF∽△EBF． ??????????????????5分 ∴ ∠4=∠5．??????????????????????6分 ∵ ∠APE+∠4=∠3+∠5，

∴ ∠APE=∠3=30°．??????????????????7分

翻折全等+等腰（与角平分线类比）9、（2007年北京，25）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形． （1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；

（2）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，设CD，BE相交于点O，若?A?60°，

A

D O E

B C

?DCB??EBC?等对边四边形；

1?A．请你写出图中一个与?A相等的角，并猜想图中哪个四边形是2（3）在△ABC中，如果?A是不等于60°的锐角，点D，E分别在AB，AC上，且

?DCB??EBC?你的结论．

1．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明?A225．解：（1）回答正确的给1分（如：平行四边形、等腰梯形等）。

（2）答：与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE），四边形DBCE是等对边四边形； （3）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE。

证法一：如图1，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点。 因为∠DCB=∠EBC=

A F 12∠A，BC为公共边，

E D G O D 所以△BCF≌△CBG， 所以BF=CG，

因为∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB，∠BEC=∠ABE+∠A， 所以∠BDF=∠BEC， 可证△BDF≌△CEG， 所以BD=CE

所以四边形DBCE是等边四边形。

证法二：如图2，以C为顶点作∠FCB=∠DBC，CF交BE于F点。 因为∠DCB=∠EBC=

B C

A D D12∠A，BC为公共边，

E

所以△BDC≌△CFB，

所以BD=CF，∠BDC=∠CFB， 所以∠ADC=∠CFE，

因为∠ADC=∠DCB+∠EBC+∠ABE，∠FEC=∠A+∠ABE， 所以∠ADC=∠FEC， 所以∠FEC=∠CFE，

所以CF=CE， 所以BD=CE，

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O

F

B C

所以四边形DBCE是等边四边形。

说明：当AB=AC时，BD=CE仍成立。只有此证法，只给1分。

(二)从题目中获得方法的启发，类比解决问题（上述画#的题目都有涉及这点） 由角平分线启发翻折，垂线1、（2006年北京，23）如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA

的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系； （2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你

在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

23．解：图略（1）FE与FD之间的数量关系为FE＝FD。 （2）答：（1）中的结论FE＝FD仍然成立。 证法一：如下图，在AC上截取AG＝AE，连结FG

因为∠1＝∠2，AF为公共边 可证△AEF≌△AGF所以 ∠AFE＝∠AFG，FE＝FG

由∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线 可得∠2＋∠3＝60°

所以∠AFE＝∠CFD＝∠AFG＝60°所以∠CFG＝60°

由∠3＝∠4及FC为公共边，可得△CFG≌△CFD所以FG＝FD所以FE＝FD 证法二：如下图，过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H 因为∠B＝60°，且AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线， 所以可得∠2＋∠3＝60°，F是△ABC的内心 所以 ∠GEF＝60°＋∠1，FG＝FH

又因为 ∠HDF＝∠B＋∠1 所以 ∠GEF＝∠HDF 因此可证△EGF≌△DHF 所以 FE＝FD

启发利用重心分中线，中点相关内容2、（2010石景山一模，24）我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质： 重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为2﹕1．请你用此性质解决下面的问题.

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已知：如图，点O为等腰直角三角形ABC的重心，?CAB?90?，直线m过点O,过

A、B、C三点分别作直线m的垂线，垂足分别为点D、E、F.

(1)当直线m与BC平行时（如图1），请你猜想线段BE、CF和AD三者之间的数量关系并证明；

(2) 当直线m绕点O旋转到与BC不平行时，分别探究在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AD、BE、CF三者之间 又有怎样的数量关系？请写出你的结论，不需证明． AEO(D)BCFmAFEBODCEAFmmBODC图1 图2 图3 24．（1）猜想：BE+CF=AD ????????????1分 证明：如图，延长AO交BC于M点， ∵点O为等腰直角三角形∴AO=2OM且AM⊥BC

又∵EF∥BC ∴AM ⊥EF ∵BE⊥EF,CF⊥EF ∴EB∥OM∥CF ∴EB=OM=CF

∴EB+CF=2OM=AD ?????????3分

（2）图2结论：BE+CF=AD 证明：联结AO并延长交BC于点G, 过G做GH⊥EF于H 由重心性质可得AO=2OG

∵∠ADO=∠OHG=90°, ∠AOD=∠HOG

∴△AOD∽△GOH ∴AD=2HG ????????????5分 ∵O为重心 ∴G为BC中点

∵GH⊥EF,BE⊥EF,CF⊥EF ∴EB∥HG∥CF ∴H为EF中点

AABC的重心

EO(D)BMFmC图1

AHDOG图2

FEBmCA FmBEODC图3 1∴HG=

2(EB+CF)

∴EB+CF=AD ????????????????7分

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(3)CF－BE= AD ???????????????8分

由特殊形解题启发构造哪些相等的角3、（2011南京，27）如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．

⑴ 图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过

点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点． ⑵在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．

①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）； ②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．

A A A

D P E B C B C B C ① ② ③

(三) 一题多解与题目的变式及类题

DC1、*（西城中考总复习P64例5）点M为正方形ABCD的边AB（或延长线

上）任一点（不与A，B重合），?DMN?90?，射线MN与?ABC的外角平分线交于点N，求证：DM=MN.

AMB【变式】

A、方法类比，改变图形

A（1）等边三角形ABC中，在BC边上任取一点D（不与A，B重合）， 作 ?ADE?60?， DE交∠C的外角平分线于E，判断△ADE的形状，并证明。若D是射线BC上任一点，上述结论是否成立?

（2）(2008西城一模，25)如图,正六边形ABCDEF,点M在AB边上，BCDNEE?FMH?120?,MH与六边形?ABC外角的平分线BQ交于H点.

①当点M不与点A、B重合时，求证：∠AFM=∠BMH;

②当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动(点M不与点B重合)时,猜想FM与MH的数量关系，并对猜想的结果加以证明. B、改变背景

（3）（2011密云一模，24）如图，边长为5的正方形OABC的顶点

FEDCQHAMBNyCBGPO在坐标原点处，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是OA边上的点（不与点A重合），EF⊥CE，且与正方形外角平分线AC交于点P.

（1）当点E坐标为(3，0)时，试证明CE?EP；

FOE

A（2）如果将上述条件“点E坐标为（3，0）”改为“点E坐标为（t，0）（t?0）”，结论

CE?EP是否仍然成立，请说明理由；

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