2020-2021学年山东省高考数学一模试卷(理科)及答案解析

当时，f'（t）＞0，f（t）为增函数．…

时取最小值

．

时取最小值时，点P的坐标为

．… ．

所以，当t＞0时，函数f（t）在

因为f（t）为偶函数，当t＜0时，函数f（t）在当

时，点P的坐标为

；当，

．…

综上，△PAB的面积存在最小值此时点P的坐标为

或

21．已知函数f（x）=x﹣1﹣a（x﹣1）﹣lnx（a∈R）． （1）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数g（x）=f（x）﹣x+1有一个极小值点和一个极大值点，求a的取值范围；

（3）若存在k∈（1，2），使得当x∈（0，k]时，f（x）的值域是[f（k），+∞），求a的取值范围．注：自然对数的底数e=2.71828…

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）求出g（x）的导数，得到关于a的不等式组，解出验算即可；

（3）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围确定函数的单调区间，得到关于a的不等式，解出即可．

【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）． 当a=0时，

．…

2

f'（x）＜0?0＜x＜1； f'（x）＞0?x＞1．

所以，函数f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．… （2）g（x）=﹣a（x﹣1）﹣lnx，则

令h（x）=2ax﹣2ax+1（x＞0），若函数g（x）有两个极值点， 则方程h（x）=0必有两个不等的正根，设两根为x1，x2，

2

2

．…

于是…

解得a＞2．…

当a＞2时，h（x）=0有两个不相等的正实根，设为x1，x2，不妨设x1＜x2， 则

．

当0＜x＜x1时，h（x）＞0，g'（x）＜0，g（x）g'（x）＞0 在（0，x1）上为减函数；

当x1＜x＜x2时，h（x）＜0，g（x）在（x1，x2）上为增函数；

当x＞x2时，h（x）＞0，g'（x）＜0，函数g（x）在（x2，+∞）上为减函数． 由此，x=x1是函数g（x）的极小值点，x=x2是函数g（x）的极大值点．符合题意． 综上，所求实数a的取值范围是（2，+∞）．… （3）①当a≤0时，

．…

．

当0＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）在（0，1）上为减函数； 当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上为增函数．

所以，当x∈（0，k]（1＜k＜2）时，f（x）min=f（1）=0＜f（k），f（x）的值域是[0，+∞）． 不符合题意．…

②当a＞0时，．

（ i）当x f'（x） f（x）

﹣

，即

0

时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：

+ 增函数 ，即

．…

，当

上为增函数，

时，

，

1 0 极大值

（1，+∞） ﹣ 减函数

．

减函数 极小值

若满足题意，只需满足整理得令

所以F（a）在所以，当可见，当故若所以

时，时，

．

恒成立．

，当x∈（0，k]（1＜k＜2）时，函数f（x）的值域是[f（k），+∞）． 满足题意．…（ ii）当

，即

时，

，当且仅当x=1

时取等号．

所以f（x）在（0，+∞）上为减函数．从而f（x）在（0，k]上为减函数．符合题意．… （ iii）当x f'（x） f（x）

，即

（0，1） 1 ﹣ 减函数

0 极小值0

+ 增函数

时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

0 极大值 （若

﹣ 减函数

，不符合题意），即a＞1﹣ln2，且

若满足题意，只需满足f（2）＜f（1），且

．

又，所以a＞1﹣ln2．此时，．

综上，a＞1﹣ln2．

所以实数a的取值范围是（1﹣ln2，+∞）．…