2020-2021学年山东省高考数学一模试卷(理科)及答案解析

19．数列{an}满足a1=1，a2=，{anan+1}是公比为的等比数列． （1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn=3a2n+2n﹣7，Sn是数列{bn}的前n项和，求Sn以及Sn的最小值． 【考点】数列递推式；数列与函数的综合． 【分析】（1）可求得

；从而可得隔项成等比数列，从而分别求通项公式；

（2）化简

其单调性从而求最小值．

【解答】解：（1）∵{anan+1}是公比为的等比数列， ∴

，

，从而利用拆项求和法求Sn，讨论

即；

的等比数列； 的等比数列．

∴a1，a3，a5，a7，…，a2k﹣1，…是公比为a2，a4，a6，a8，…，a2k，…是公比为当n为奇数时，设n=2k﹣1（k∈N），

=

当n为偶数时，设n=2k（k∈N），

*

*

；

=；

综上，．

（2）．

Sn=b1+b2+b3+…+bn=

=

=．

即

2

．

当n≥3时，∵（n﹣3）﹣6和都是关于n的增函数，

∴当n≥3时，Sn是关于n的增函数，即S3＜S4＜S5＜…． ∵

∴S1＞S2＞S3； ∴

20．已知抛物线C：y=2px（p≠0）的焦点F在直线2x+y﹣2=0上． （1）求抛物线C的方程；

（2）已知点P是抛物线C上异于坐标原点O的任意一点，抛物线在点P处的切线分别与x轴、y轴交于点B，E，设

=λ

，求证：λ为定值；

2

，，，

．

（3）在（2）的条件下，直线PF与抛物线C交于另一点A，请问：△PAB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值及此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程． 【分析】（1）抛物线C的焦点

在x轴上，求出p=2．由此能求出抛物线C的方程．

．设切线BP的方程为

（2）由点P是C上异于坐标原点O的任意一点，设

．由，得：ky﹣4y﹣kt+4t=0，由此利用根的判别式、切

22

线方程，结合已知条件能证明λ为定值． （3）设直线FP的方程为x=my+1，由长公式得到S△PAB=

，令

，得：

，由此利用韦达定理、弦

，则f（t）

为偶函数，只需研究函数f（t）在t＞0时的最小值即可．利用导数性质能求出结果． 【解答】解：（1）由题意，抛物线C的焦点在方程2x+y﹣2=0中，令y=0，得x=1．… 于是，

．解得p=2．

2

在x轴上．…

所以，抛物线C的方程为y=4x．…

证明：（2）由点P是C上异于坐标原点O的任意一点，设

．

设切线BP的斜率为k，则切线BP的方程为．

由，消去x并整理得：ky﹣4y﹣kt+4t=0．…

22

由k≠0，考虑到判别式△=16﹣4k（﹣kt+4t）=0． 可得4（kt﹣2）=0．所以kt﹣2=0．故切线BP的斜率切线BP的方程为在在

中，令x=0，得中，令y=0，得

，即

．

；

．…

2

2

．…

．所以点E的坐标为

．所以点B的坐标为

所以，

．

所以

．故

，为定值．…

解：（3）由直线FP过点F（1，0）， 设直线FP的方程为x=my+1． 由

，消去x得：

．

由韦达定理，得yAyP=﹣4．所以．…

于是=令

小值即可． 当t＞0时，

，

．

当

时，f'（t）＜0，f（t）为减函数；

…

，则f（t）为偶函数，只需研究函数f（t）在t＞0时的最