中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第5章课后习题详解

知识点：牛顿—莱布尼茨公式

思路：利用牛顿—莱布尼茨公式先求出原函数,再代入积分上下限 解:

??2191x31211116321(x?4)dx?(?3)?[23?3?(13?3)]???

x33x13213882(2)

4x(1?x)dx;

知识点：牛顿—莱布尼茨公式 解:

?094321122x29x(1?x)dx??(x?x)dx?(x?)?(27?8)?(81?16)?45.

4263243912(3)

?3adxa2?x2;

知识点：牛顿—莱布尼茨公式 解:

?3a0dx1x?arctana2?x2aa03a?11?arctan3?arctan0?. aa3a(4)

?121?2dx1?xdx2; 知识点：牛顿—莱布尼茨公式 解:

??121?21?x2?arcsinx?1/2?;

1/2??(?)?. 663???(5)

40tan2?d?知识点：牛顿—莱布尼茨公式

??20解:

?40tan?d???4(sec2??1)d??(tan???)0?1?1?cos2xdx;

?/4?4.

(6)

?3?40知识点：牛顿—莱布尼茨公式

思路：利用牛顿—莱布尼茨公式求出原函数,再代入积分上下限求得 解:

?3?401?cos2xdx???203?402cosxdx?2?23?40cosxdx

?/20 ??2cosxdx???3?42cosxdx?2sinx?2sinx3?/42?/2?22?1.

★★11．设

?1?sinx0?x??f(x)??2

x?0或x???0?,求?(x)??x0f(t)dt在???,???内的表达式.

知识点：牛顿—莱布尼茨公式

思路：?(x)??x0f(t)dt随x而变，并注意到被积函数f(x)在不同区间的表达式不同,所以必要时对

?x0f(t)dt进行分段积分。

解:当x?0时, ?(x)?当0?x???x00dt?0,

时, ?(x)???x0x1?cosx11xsintdt??cost??sin2,

02222当x??时, ?(x)??0x1sintdt??0dt?1.

?2?0x?0??2x所以 ?(x)??sin 0?x??2?x??1??★★★12．设

10

f(x)连续,若f(x)满足?f(xt)dt?f(x)?xex,求f(x)

知识点：积分上限函数求导公式

思路：换元法求得积分上限函数,再对积分上限函数求导 解:令u?xt,则

?10f(xt)dt??f(u)0xdu1x??f(u)du, xx0 因此

f(x)满足?f(u)du?xf(x)?x2ex,

0x 两边关于x求导,可得： 因此 ∴

f(x)?f(x)?xf?(x)?2xex?x2ex.

f?(x)??(2?x)ex,说明f(x)是?(2?x)ex的原函数.

f(x)???(2?x)exdx??(x?1)ex?C C为任意常数.

★★★13．设

f(x)??x0ln(1?t)1dt(x?0),求f(x)?f() tx1x知识点：积分上限函数

思路：用换元法改变积分限，使f(x)和f()积分限相同

1ln(1?)u?1/t1ln(1?t)x1xu解:由于 f()??dt???du

11xtuxln(1?u)xlnudu??du, ???11uu 而

?x1lnu11du?(lnu)2?(lnx)2 u221x 因此：

xln(1?t)xln(1?u)111f(x)?f()??dt??du?(lnx)2?(lnx)2.

11xtu22★★★14．设

f(x)在?a,b?上连续,在?a,b?内可导,且f?(x)?0

1xf(t)dt，证明:在?a,b?内有F?(x)?0

x?a?a F(x)?知识点：积分上限函数的导数,积分中值定理,拉格朗日中值定理 证明: F?(x)?f(x)(x?a)??f(t)dt(x?a)a2x

?f(x)(x?a)?f(?)(x?a) (a???x)

(x?a)2f(x)?f(?)f?(?)(x??)? (????x)

(x?a)(x?a) ?∵a???x，f?(x)?0?f(?)?0，∴F?(x)?0 习题5-4

★★1．用定积分换元法计算下列各积分

(1)??3sin(x?3)dx

?3)）

??知识点：定积分换元法（凑微分：dx?d(x??解:

?2?sin(x?)dx?sin(x?)d(x?)??cos(x?)?cos?cos?0 ???3?3333?/3333?1?????(2)

??11?5x??2dx3

知识点：定积分换元法（凑微分：dx?1d(11?5x)） 51解:

??11?5x??21dx3111?3?2???11?5x?d?11?5x????11?5x?

?2510?2 ???151(16?2?1)?. 10512(3)

?20sin?cos3?d?

知识点：定积分换元法（凑微分：sin?d???dcos?）

11解: ?2sin?cos3?d????2cos3?dcos???cos4??.

00440???/2?(4) ?2cos6?2udu

知识点：定积分换元法

思路：先用三角公式降低被积函数的幂次，再逐项积分。

1?cos2u11解: ??2cosudu???2du?[(u?sin2u)]

222?/6662???/2 ?1?13?3(?0??)??. 232268(5)

?50x3dx 2x?112dx） 2知识点：定积分换元法（凑微分：xdx?思路：先将被积函数（假分式）化成真分式，再逐项积分。 解:

?5035x?x?x5x315d(x2?1)dx??dx??xdx?? 222000x?1x?12x?155x21251?ln(x2?1)??ln26. ?202220(6)

?502x2?3x?5dx

x?3知识点：定积分换元法

思路：先将被积函数（假分式）化成真分式，再逐项积分 解:

?5052x(x?3)52x2?3x?53x?944dx??[??]dx??(2x?3?)dx

00x?3x?3x?3x?3x?3258?3x?4ln(x?3)]?10?4ln?10?12ln2?4ln3.

03 ?[x1(7)

xdx??1(x2?1)2

知识点：定积分换元法（凑微分：xdx?11d(x2?1)） 21xdx11d(x2?1)1????0. 解: ??1(x2?1)22??1(x2?1)22(x2?1)?1(8)

?21exdx 2x1