人教A版高中数学必修四新课标优秀教案示范教案向量加法运算及其几何意义

点评:要善于运用向量的加法的运算法则及运算律来求和向量.

例2 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.如图10所示,一艘船从长江南岸A点出发,以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2 km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留两个有效数字); (2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示,精确到度).

图10 图11

活动:本例结合一个实际问题说明向量加法在实际生活中的应用.这样的问题在物理中已有涉及,这里是要学生能把它抽象为向量的加法运算,体会其中应解决的问题是向量模的大小及向量的方向(与某一方向所成角的大小).引导点拨学生正确理解题意,将实际问题反映在向量作图上,从而与初中学过的解直角三角形建立联系.

解:如图11所示,AD表示船速,AB表示水速,以AD、AB为邻边作际航行的速度.

(2)在Rt△ABC中,|AB|=2,|BC|=5, 所以|AC|=|AB|?|BC|?因为tan∠CAB=

22ABCD,则AC表示船实

22?52?29≈5.4.

29,由计算器得∠CAB=70°. 2答:船实际航行速度的大小约为5.4 km/h,方向与水的流速间的夹角为70°.

点评:用向量法解决物理问题的步骤为:先用向量表示物理量,再进行向量运算,最后回扣物理问题,解决问题. 变式训练

用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形.

图12

活动:本题是一道平面几何题,如果用纯几何的方法去思考,问题不难解决,如果用向量法来解,不仅思路清晰,而且运算简单.将互相平分利用向量表达,以此为条件推证使四边形为平行四边形的向量等式成立.教师引导学生探究怎样用向量法解决几何问题,并在解完后总结思路方法.

证明:如图12,设四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AB=AO+OB,DC=DO+OC.

AC与BD互相平分,AO=OC,OB=DO,AB=DC,

因此AB∥CD且|AB|=|DC|, 即四边形ABCD是平行四边形.

点评:证明一个四边形是平行四边形时,只需证明AB=DC或AD=BC即可.而要证明一个四边形是梯形,需证明AB与DC共线,且|AB|≠|DC|. 思路2

例3 如图13,O为正六边形ABCDEF的中心,作出下列向量: (1)OA+OC;(2)BC+FE;(3)OA+FE.

活动:教师引导学生由向量的平行四边形法则(三角形法则)作出相应的向量.教师一定要让学生亲自动手操作,对思路不清的学生教师适时地给予点拨指导.

图13

解:(1)因四边形OABC是以OA、OC为邻边的平行四边形,OB是其对角线, 故OA+OC=OB. (2)因BC=FE,

故BC+EF与BC方向相同,长度为BC的长度的2倍, 故BC+FE=AD. (3)因OD=FE,

故OA+FE=OA+OD=0.

点评:向量的运算结合平面几何知识,在长度和方向两个方面做文章.应深刻理解向量的加、减法的几何意义.

例2 在长江的某渡口处,江水以12.5 km/h的速度向东流,渡船的速度是25 km/h,渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定？ 活动:

如图14,渡船的实际速度AC、船速AD与水速AB应 满足AB+AD=AC.

图14

解:设AB表示水流速度,AD表示渡船的速度,AC表示渡船实际垂直过江的速度,以AB为一边,AC为对角线作平行四边形,AD就是船的速度.

在Rt△ACD中,∠ACD=90°,|DC|=|AB|=12.5,|AD|=25,∠CAD=30°. 答:渡船的航向为北偏西30°.

点评:根据题意画出草图,是解决问题的关键. 变式训练

已知O是四边形ABCD内一点,若OA+OB+OC+OD=0,则四边形ABCD是怎样的四边形?点O是四边形的什么点?

活动:要判断四边形的形状就必须找出四边形边的某些关系,如平行、相等等;而要判断点O是该四边形的什么点,就必须找到该点与四边形的边或对角线的关系.

图15

解:如图15所示,设点O是任一四边形ABCD内的一点,且OA+OB+OC+OD=0,过A作AEOD,连结ED,则四边形AEDO为平行四边形,

设OE与AD的交点为M,过B作BFOC,则四边形BOCF为平行四边形, 设OF与BC的交点为N,于是M、N分别是AD、BC的中点.

∵OA+OB+OC+OD=0,OA+OD=OA+AE=OE,OB+OC=OB+BF=OF, ∴OE+OF=0,

即OE与OF的长度相等,方向相反.

∴M、O、N三点共线,

即点O在AD与BC的中点连线上.

同理,点O也在AB与DC的中点连线上.

∴点O是四边形ABCD对边中点连线的交点,且该四边形可以是任意四边形. 知能训练

课本本节练习.

解答:1.直接在教科书上据原图作(此处从略). 2.直接在教科书上据原图作(此处从略).

3.(1)DA；(2)CB.

点评:在向量的加法中要注意向量箭头的方向. 4.(1)c；(2)f；(3)f；(4)g.

点评:通过填空,使学生得出首尾相接的几个向量的求和规律. 课堂小结

1.先由学生回顾本节学习的数学知识:向量的加法定义,向量加法的三角形法则和平行四边形法则,向量加法满足交换律和结合律,几何作图,向量加法的实际应用.

2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法:特殊与一般,归纳与类比,数形结合,分类讨论,特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法.这种迁移类比的方法将把我们引向数学的王国,科学的殿堂. 作业

如图16所示,已知矩形ABCD中,|AD|=43,设AB=a,BC=b,BD=c,试求向量a+b+c的模.

图16

解:过D作AC的平行线,交BC的延长线于E, ∴DE∥AC,AD∥BE.

∴四边形ADEC为平行四边形. ∴DE=AC,CE=AD.

于是a+b+c=AB+BC+BD=DE+BD=BE=AD+AD=2AD, ∴|a+b+c|=2|AD|=83.

点评:求若干个向量的和的模(或最值)的问题通常按下列步骤进行: (1)寻找或构造平行四边形,找出所求向量的关系式;

(2)用已知长度的向量表示待求向量的模,有时还要利用模的重要性质.

设计感想

1.本节内容是向量的加法,运算法则有三角形法则和平行四边形法则,而两个法则的运用有各自的条件:三角形法则适合于首尾顺次相接的两向量相加,对于共线向量的加法仍然适合；而平行四边形法则适合于两个同起点的向量相加,对于共线向量却不能用此法解决.三角形法则可以推广到多个首尾顺次相接的向量的加法. 2.本节要求使用多媒体辅助教学,便于直观、生动地揭示向量加法的概念,突破难点,提高效率,因为本节解决问题的方法主要是借助图形,采用数形结合的思想方法.多让学生动手画图,识图,让学生在动态中经历和体会概念的形成过程.让学生自己类比、猜想、发现及应用新知识解决问题.