[解析]山东省济南市2015届高三下学期第二次模拟数学（理）试卷 Word版含解析[ 高考]

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（Ⅱ）求随机变量X的分布列及数学期望．

考点： 离散型随机变量的期望与方差；排列、组合的实际应用． 专题： 概率与统计．

分析： （Ⅰ）求出从A、B、C、D、E、F六个点中任取三个点的所有不同的取法，再求出其中所选取的3个点与点S在同一平面内的取法，然后利用古典概型概率计算公式求得所求事件“X=0”的概率；

（Ⅱ）由题意可得X的所有可能取值为0，

．然后利用古典概型概率计算公

式分别求出概率，列出频率分布表，再由期望公式求期望． 解答： 解：（Ⅰ）从A、B、C、D、E、F六个点中任取三个点共有其中所选取的3个点与点S在同一平面内的取法有∴所求事件“X=0”的概率P（X=0）=（Ⅱ）由题意可得X的所有可能取值为0，由（Ⅰ）得：P（X=0）=，

；

．

种不同的取法，

不同取法，

P（X=）=，

P（X=）=，

P（X=）=，

P（X=）=．

∴随机变量X的分布列为： X 0 P

．

∴E（x）=

点评： 本小题主要考查概率、概率与统计等基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识，属中档题．

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20．已知椭圆

2

2

2

=1（a＞b＞0）的离心率为e，半焦距为c，B（0，1）为其上顶点，且

a，c，b，依次成等差数列．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程和离心率e；

（Ⅱ）P，Q为椭圆上的两个不同的动点，且．kBP?kBQ=e （i）试证直线PQ过定点M，并求出M点坐标；

（ii）△PBQ是否可以为直角三角形？若是，请求出直线PQ的斜率；否则请说明理由．

考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： （Ⅰ）由题意，b=1，a+b=2c，结合c+b=a，可求椭圆的标准方程和离心率e；

2

（Ⅱ）（i）设直线PQ的方程为x=my+n，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合kBP?kBQ=e，求出m，n的关系，即可得出直线PQ过定点M，并求出M点坐标；

（ii）确定P或Q在以BM为直径的圆T，与椭圆方程联立，即可得出结论． 解答： 解：（Ⅰ）由题意，b=1，a+b=2c， 222

∵c+b=a， 22

∴a=3，c=2， ∴

，e==

；

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

（Ⅱ）（i）设直线PQ的方程为x=my+n，设P（x1，y1），Q（x2，y2），

222

直线方程代入椭圆方程可得（3+m）y+2mny+n﹣3=0， ∴y1+y2=﹣

，y1y2=

，

∴kBP?kBQ=

2

?

2

=e=，

2

整理可得n﹣2mn﹣3m=0 ∴n=﹣m或n=3m，

∴直线PQ的方程为x=my﹣m=m（y﹣1）（舍去）或x=my+3m=m（y+3）， ∴直线PQ过定点（0，﹣3）；

（ii）由题意，∠PBQ≠90°，若∠BPM=90°或∠BQM=90°，则P或Q在以BM为直径的圆T上，即在圆x+（y+1）=4上，与椭圆方程联立得y=0或1（舍去）， ∴P或Q只可以的椭圆的左右顶点， ∴直线PQ的斜率为±．

点评： 本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

21．已知函数f（x）=a﹣2x（a＞0，且a≠1）． （Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程； （Ⅱ）若f（x）的值恒非负，试求a的取值范围； （Ⅲ）若函数f（x）存在极小值g（a），求g（a）的最大值．

x

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考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值． 专题： 分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用．

分析： （Ⅰ）求出当a=2时的f（x）解析式和导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；

（Ⅱ）当x≤0时，由指数函数的值域和不等式的性质，f（x）的值恒非负；当x＞0时，运用对数的运算性质和参数分离，令g（x）=

，x＞0，求得导数，判断单调性，求

出最大值即可得到a的范围；

（Ⅲ）讨论①0＜a＜1时，由单调性可得f（x）无极值；②a＞1时，设f′（x）=0的根为t，通过单调性，求得极小值，令x=即可得到最大值．

解答： 解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=2﹣2x，f′（x）=2ln2﹣2， 曲线f（x）在点P（2，f（2））处的切线斜率为k=f′（2）=4ln2﹣2， 切点为（2，0），

则有曲线f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y﹣0=（4ln2﹣2）（x﹣2）， 即为y=（4ln2﹣2）x﹣8ln2+4；

（Ⅱ）当x≤0时，a＞0，a﹣2x≥0恒成立．

x

x＞0时，f（x）≥0即为a≥2x，xlna≥ln（2x）， 即有lna≥

，令g（x）=

，x＞0，

x

x

x

x

，则h（x）=x﹣xlnx，x＞0，通过导数判断单调性，

g′（x）=，令g′（x）=0，则x=，

当0＜x＜时，g′（x）＞0，g（x）递增， x＞时，g′（x）＜0．g（x）递减． g（x）max=g（）=

=，

即lna，解得a≥，

则a的取值范围是[

x

，+∞）；

（Ⅲ）f′（x）=alna﹣2，

x

①0＜a＜1时，a＞0，lna＜0，f′（x）＜0，f（x）在R上递减，f（x）无极值； ②a＞1时，设f′（x）=0的根为t，a=

t

，t=，

f（x）在（﹣∞，t）递减，在（t，+∞）递增，

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f（x）的极小值为f（t）=a﹣2t=

t

2?，

即g（a）=则a＞1，令x=

2?＞0，

，

，则h（x）=x﹣xlnx，x＞0，h′（x）=1﹣lnx﹣1=﹣lnx，

h′（x）=0，解得x=1，h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减， 即有h（x）的最大值为h（1）=1，

即g（a）的最大值为1，此时a=e．

点评： 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值，注意运用参数分离和分类讨论的思想方法是解题的关键．

2

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