2021版文科数学全国通用版一轮复习第九章 解析几何第8节 第1课时

第九章 解析几何

第八节 直线与圆锥曲线的综合问题 第1课时 直线与圆锥曲线的位置关系

A级·基础过关|固根基|

x2y2

1.若直线y＝x＋2与椭圆m＋3＝1有两个公共点，则实数m的取值范围是( )

A．(1，＋∞) C．(3，＋∞)

B．(1，3)∪(3，＋∞) D．(0，3)∪(3，＋∞)

解析：选B

?y＝x＋2，由?x2y2得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0. ?m＋3＝1，

由Δ＝16m2－4m(m＋3)>0且m≠3及m>0，得m>1且m≠3.

x2y2

2．设直线y＝kx与椭圆4＋3＝1相交于A，B两点，分别过A，B两点向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则实数k等于( )

3A．±2 1C．±2

2B．±3 D．±2

解析：选A 由题意可知，点A与点B的横坐标即为焦点的横坐标，又c＝1，当k>0时，不妨设A，B两点的坐标分别为(－1，y1)，(1，y2)，代入椭圆3y＝－??12，33

方程得?解得∴k＝；同理可得当k<0时，k＝－?222.故选A. 1y23

??4＋3＝1，??y2＝2，3．若点(3，1)是抛物线y2＝2px(p>0)的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p的值是( )

A．1

B．2

21y1??4＋3＝1，

C．3 D．4

解析：选B 设过点(3，1)的直线交抛物线y2＝2px(p>0)于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

2??y1＝2px1，①则?

2??y2＝2px2，②

2由①－②得，y1－y22＝2p(x1－x2)，即

y1－y22p

＝， x1－x2y1＋y2

2p

由题意知kAB＝2，且y1＋y2＝2，故kAB＝2＝2，所以p＝2.

4．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，连接原点与线段MN2m

中点所得直线的斜率为2，则n的值是( )

2A.2 92C.2

23B.3 23D.27 22??mx＋ny＝1，

解析：选A 由?得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.设M(x1，y1)，N(x2，

??y＝1－x，

m??n2n2m，?.y2)，则x1＋x2＝，所以y1＋y2＝，所以线段MN的中点为P?

m＋nm＋nm＋nm＋n??2m2

由题意知，kOP＝2，所以n＝2.故选A.

x2y2

5．已知椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)及点B(0，a)，过点B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A，F为椭圆的右焦点，则∠ABF＝( )

A．60° C．120°

B．90° D．150°

解析：选B 由题意知，切线的斜率存在，设切线方程y＝kx＋a(k>0)，与

?y＝kx＋a，

椭圆方程联立?x2y2消去y整理得(b2＋a2k2)x2＋2ka3x＋a4－a2b2＝0，

?a2＋b2＝1，

由Δ＝(2ka3)2－4(b2＋a2k2)(a4－a2b2)＝0，

2

cc?a?得k＝a，从而y＝ax＋a，交x轴于点A?－c，0?，

??

→·BF→＝0，故∠ABF＝90°.

又F(c，0)，易知BA

x22

6．经过椭圆2＋y＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B→·OB→＝________．

两点．设O为坐标原点，则OA

解析：依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y－0＝tan 45°x22

(x－1)，即y＝x－1，代入椭圆方程2＋y＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或4?41?x＝3，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，?3，3?，

??

→·OB→＝－1，同理，当直线l经过椭圆的左焦点时，也可得OA→·OB→＝－

所以OA

313.

1

答案：－3

x2y2

7．已知椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的右顶点为A，经过原点的直线l交椭圆C于P，Q两点，若|PQ|＝a，AP⊥PQ，则椭圆C的离心率为________．

|PQ|a

解析：不妨设点P在第一象限，O为坐标原点，由对称性可得|OP|＝2＝2，|OP|1

因为AP⊥PQ，所以在Rt△POA中，cos∠POA＝|OA|＝2，故∠POA＝60°，易得13a2?a3a?

?，代入椭圆方程得＋2＝1，故a2＝5b2＝5(a2－c2)，所以椭圆CP?，1616b4??4

25

的离心率e＝5.

25

答案：5 8．(2019届长春模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若|AB|＝6，则△AOB的面积为________．

解析：因为抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1，0)，当直线AB垂直于x轴时，|AB|＝4，不满足题意，所以设直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，与y2＝4

4x联立，消去x得ky2－4y－4k＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝k，y1y2＝－4，所以|y1－y2|＝

16

k2＋16.且|AB|＝

1?1?

1＋k2|y1－y2|＝6，所以4?1＋k2?＝6，

??

解得k2＝2，所以|y1－y2|＝×26＝6.

答案：6

161

＋16＝26，所以△AOB的面积为S＝△AOBk22×1

9．已知点Q是抛物线C1：y2＝2px(p>0)上异于坐标原点O的点，过点Q与抛物线C2：y＝2x2相切的两条直线分别交抛物线C1于点A，B.若点Q的坐标为(1，－6)，求直线AB的方程及弦AB的长．

解：由Q(1，－6)在抛物线y2＝2px上，可得p＝18， 所以抛物线C1的方程为y2＝36x.

设抛物线C2的切线方程为y＋6＝k(x－1)．

?y＋6＝k（x－1），

联立?消去y，得2x2－kx＋k＋6＝0， 2

?y＝2x，由于直线与抛物线C2相切，故Δ＝k2－8k－48＝0， 解得k＝－4或k＝12.

?y＋6＝－4（x－1），?1?由?2得A?4，－3?；

???y＝36x，?y＋6＝12（x－1），?9?

由?2得B?4，9?.

???y＝36x，

所以直线AB的方程为12x－2y－9＝0，弦AB的长为237.

x2y2?23?

?在椭圆G：2＋2＝1(a>b>0)上，且点M到两焦点10．已知点M?22，

ab3??