高中数学第二章数列单元评估验收新人教A版必修5

(二) 数列

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．{an}是首项为1，公差为3的等差数列，如果an＝2 014，则序号n等于( ) A．667 B．668 C．669 D．672 解析：由2 014＝1＋3(n－1)解得n＝672. 答案：D

2．数列{a2

n}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)＋λ，则λ的值是( A．－2 B．－1 C．0

D．1

解析：等差数列前n项和S＝an2

n的形式为Sn＋n， 所以λ＝－1. 答案：B

3．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3·a11＝16，则a5等于( ) A．1 B．2 C．4 D．8

解析：因为a2

3·a11＝a7＝16，所以a7＝4，

所以aa74

5＝q2＝2

2＝1.

答案：A

n4．数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)??9?10???

，那么在此数列中( ) A．a7＝a8最大 B．a8＝a9最大 C．有唯一项a8最大

D．有唯一项a7最大

n解析：a(n＋2)??9n＝?10???， n＋1

an＋1＝(n＋3)·??9?10???

，

所以an＋1a＝n＋3＋2·9

10

， nn令

an＋1a≥1，即n＋3n＋2·9

10

≥1，解得n≤7， n即n≤7时递增，n＞7递减，所以a1＜a2＜a3＜…＜a7＝a8＞a9＞…. 所以a7＝a8最大．

) 1

答案：A

5．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝( ) A．3×4 C．4

4

4

B．3×4＋1 D．4＋1

4

4

解析：由an＋1＝3Sn?Sn＋1－Sn＝3Sn?Sn＋1＝4Sn，故数列{Sn}是首项为1，公比为4的等比数列，

故Sn＝4

n－1

，所以a6＝S6－S5＝4－4＝3×4.

544

答案：A

6．数列{(－1)·n}的前2 013项的和S2 013为( ) A．－2 013 C．2 013

B．－1 017 D．1 007

n解析：S2 013＝－1＋2－3＋4－5＋…＋2 012－2 013＝(－1)＋(2－3)＋(4－5)＋…＋(2 012－2 013)＝(－1)＋(－1)×1 006＝－1 007.

答案：D

7．若{an}是等比数列，其公比是q，且－a5，a4，a6成等差数列，则q等于( ) A．1或2 C．－1或2

解析：依题意有2a4＝a6－a5， 即2a4＝a4q－a4q，而a4≠0， 所以q－q－2＝0，(q－2)(q＋1)＝0. 所以q＝－1或q＝2. 答案：C

8．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是( ) A．d＜0 B．a7＝0 C．S9＞S5

D．S6与S7均为Sn的最大值 解析：由S5＜S6，得a6＝S6－S5＞0. 又S6＝S7?a7＝0，所以d＜0.

由S7＞S8?a8＜0，因此，S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)＜0，即S9＜S5. 答案：C

?1?

9．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列??的前

?an?

2

2

B．1或－2 D．－1或－2

5项和为( )

2

A.

15313115和5 B.和5 C. D. 816168

3

解析：由9S3＝S6＝S3＋qS3， 又S3≠0，所以q＝8，q＝2. 故an＝q·qn－1

3

＝2

n－1

11

，所以＝n－1，

an2

1??1－???2?

5

?1?

所以??的前5项和S5＝

?an?

31＝. 1161－2

答案：C

10．已知数列{an}，an＝－2n＋λn，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( ) A．(－∞，6) C．(－∞，5)

B．(－∞，4] D．(－∞，3]

*

2

解析：数列{an}的通项公式是关于n(n∈N)的二次函数，若数列是递减数列，则－λ

≤1，即λ≤4.

2·（－2）

答案：B

11．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)(n≥2，n∈N)，则的值是( ) A.15 16

B.15 8

n*

a3a5

3C. 4

2

3D. 8

解析：由已知得a2＝1＋(－1)＝2， 13

所以a3·a2＝a2＋(－1)，所以a3＝，

2114

所以a4＝＋(－1)，所以a4＝3，

2225

所以3a5＝3＋(－1)，所以a5＝，

3

a3133所以＝×＝.

a5224

答案：C

12．某工厂月生产总值的平均增长率为q，则该工厂的年平均增长率为( ) A．q C．(1＋q)

12

B．12q D．(1＋q)－1

12

解析：设第一年第1个月的生产总值为1，公比为(1＋q)，该厂一年的生产总值为S1

3

＝1＋(1＋q)＋(1＋q)＋…＋(1＋q).

则第2年第1个月的生产总值为(1＋q)，

第2年全年生产总值S2＝(1＋q)＋(1＋q)＋…＋(1＋q)＝(1＋q)S1，所以该厂生产总值的年平均增长率为

答案：D

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．设{an}是递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是________．

解析：设前三项分别为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝12且a(a－d)(a＋d)＝48，解得a＝4且d＝±2，又{an}递增，

所以d＞0，即d＝2，所以a1＝2. 答案：2

14．已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和，若a1，a3是方程x－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________．

解析：由题意知a1＋a3＝5，a1a3＝4，又{an}是递增数列，所以a1＝1，a3＝4，所以q＝＝4，q＝2代入等比求和公式得S6＝63.

答案：63

15．如果数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则此数列的通项公式an＝______________． 解析：当n＝1时，S1＝2a1－1， 所以a1＝2a1－1，所以a1＝1.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)； 所以an＝2an－1，经检验n＝1也符合． 所以{an}是等比数列． 所以an＝2答案：2

n－1

2

2

12

13

23

12

12

211

S2－S1S212

＝－1＝(1＋q)－1. S1S1

a3

a1

，n∈N.

*

*

n－1

(n∈N)

*

16．设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N)，有下列三个命题： ①若{an}既是等差数列又是等比数列，则an＝an＋1； ②若Sn＝a(a为非零常数)，则{an}是等比数列； ③若Sn＝1－(－1)，则{an}是等比数列． 其中真命题的序号是________．

nna1（1－qn）a1a1n解析：易知①是真命题，由等比数列前n项和Sn＝＝－·q知②不

1－q1－q1－q正确，③正确．

4

答案：①③

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2. (1)求{an}的通项公式；

(2)设等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？ 解：(1)设等差数列{an}的公差为d. 因为a4－a3＝2，所以d＝2.

又因为a1＋a2＝10，所以2a1＋d＝10，故a1＝4. 所以an＝4＋2(n－1)＝2n＋2 (n＝1，2，…)． (2)设等比数列{bn}的公比为q. 因为b2＝a3＝8，b3＝a7＝16， 所以q＝2，b1＝4. 所以b6＝4×2

6－1

＝128.

由128＝2n＋2得n＝63，

所以b6与数列{an}的第63项相等．

18．(本小题满分12分)已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为Sn，若S5＝70，且a2，a7，a2成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

?1?13

(2)设数列??的前n项和为Tn，求证：≤Tn＜.

68?Sn?

(1)解：因为数列{an}是等差数列， 所以an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋

??S5＝70，

依题意，有?2

?a7＝a2a22.?

??5a1＋10d＝70，

即? 2

?（a1＋6d）＝（a1＋d）（a1＋21d）.?

n（n－1）

d.

2

解得a1＝6，d＝4.

所以数列{an}的通项公式为an＝4n＋2(n∈N)． (2)证明：由(1)可得Sn＝2n＋4n. 1所以＝

2

*

Sn11111

＝＝(－)．

2n＋4n2n（n＋2）4nn＋2

2111111?1?1?11?1?11?1

所以Tn＝＋＋＋…＋＋＝?1－?＋?－?＋?－?＋…＋·

S1S2S3Sn－1Sn4?3?4?24?4?35?4

5