（word完整版）高中导数练习题

导数

【考点透视】

1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．

2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．

3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值． 【例题解析】 考点1 导数的概念

对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1． f?(x)是f(x)?13x?2x?1的导函数，则f?(?1)的值是 ． 32 [解答过程] Qf?(x)?x2?2,?f?(?1)???1??2?3.

例2.设函数f(x)?x?a,集合M={x|f(x)?0},P={x|f'(x)?0},若MP,则实数a的取值范围是

x?1( )

A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) [解答过程]由x?a?0,?当a>1时,1?x?a;当a<1时,a?x?1.x?1x?aa?1?x?a?x?1??x?a?Qy?,?y/????0. ??22x?1?x?1?x?1x?1????/

?a?1.综上可得MP时,?a?1.例3.若曲线y?x4的一条切线l与直线x?4y?8?0垂直，则l的方程为（ ）

A．4x?y?3?0 B．x?4y?5?0 C．4x?y?3?0 D．x?4y?3?0

[解答过程]与直线x?4y?8?0垂直的直线l为4x?y?m?0，即y?x4在某一点的导数为4，而y??4x3，所以y?x4在(1，1)处导数为4，此点的切线为4x?y?3?0. 故选A.

1

例4.已知两抛物线C1:y?x2?2x,C2:y??x2?a, a取何值时C1，C2有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程.

解答过程：函数y?x2?2x的导数为y'?2x?2，曲线C1在点P(x1,x12?2x1)处的切线方程为

22y?(x1?2x1)?2(x1?2)(x?x1)，即 y?2(x1?1)x?x1 ①

曲线C1在点Q(x2,?x22?a)的切线方程是y?(?x2?a)??2x2(x?x2)即

y??2x2x?x22?a ② 若直线l是过点P点和Q点的公切线，则①式和②式都是l的方程，故得

22x1?1??x2,?x1?x2?1，消去x2得方程，2x1?2x1?1?a?0

2若△=4?4?2(1?a)?0，即a??1时，解得x1??1，此时点P、Q重合.

22∴当时a??1，C1和C2有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为y?x?1 .

24考点3 导数的应用

1.. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值（最值）; 5.构造函数证明不等式. 典型例题

例5．函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f?(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个

[解答过程]由图象可见,在区间（a,b）内的图象上有2个极小值点. 故选B.

例6 .设函数f(x)?2x3?3ax2?3bx?8c在x?1及x?2时取得极值． （Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）若对于任意的x?[0，3]，都有f(x)?c成立，求c的取值范围．

2y y?f?(x)b aO x 2

思路启迪：利用函数f(x)?2x3?3ax2?3bx?8c在x?1及x?2时取得极值构造方程组求a、b的值．

解答过程：（Ⅰ）f?(x)?6x?6ax?3b，

因为函数f(x)在x?1及x?2取得极值，则有f?(1)?0，f?(2)?0．

2即??6?6a?3b?0，

?24?12a?3b?0．解得a??3，b?4．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f(x)?2x?9x?12x?8c，

32f?(x)?6x2?18x?12?6(x?1)(x?2)．

当x?(01)，时，f?(x)?0； 当x?(1，2)时，f?(x)?0； 当x?(2，3)时，f?(x)?0．

所以，当x?1时，f(x)取得极大值f(1)?5?8c，又f(0)?8c，f(3)?9?8c． 则当x??0，3?时，f(x)的最大值为f(3)?9?8c． 因为对于任意的x??0，3?，有f(x)?c恒成立，

2所以 9?8c?c2， 解得 c??1或c?9，

因此c的取值范围为(??，?1)U(9，??)．

例7．设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a?-1，求f(x)的单调区间.

[考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力

[解答过程]由已知得函数f(x)的定义域为(?1,??)，且f'(x)?ax?1(a??1),

x?1（1）当?1?a?0时，f'(x)?0,函数f(x)在(?1,??)上单调递减， （2）当a?0时，由f'(x)?0,解得x?1.

a 3

f'(x)、f(x)随x的变化情况如下表

x f'(x) 1(?1,) a1 a1(,??) a— 0 + f(x) 极小值 从上表可知

当x?(?1,1)时，f'(x)?0,函数f(x)在(?1,1)上单调递减.

aa当x?(1,??)时，f'(x)?0,函数f(x)在(1,??)上单调递增.

aa综上所述：当?1?a?0时，函数f(x)在(?1,??)上单调递减.

当a?0时，函数f(x)在(?1,1)上单调递减，函数f(x)在(1,??)上单调递增.

aa典型例题

例8.用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ [考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.

[解答过程]设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为 h?18?12x?4.5?3x(m)43???0＜x＜?.

2??故长方体的体积为

V(x)?2x2(4.5?3x)?9x2?6x3(m3)3(0＜x＜).

2从而V?(x)?18x?18x2(4.5?3x)?18x(1?x).

令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1. 当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜

2时，V′（x）＜0， 3故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。

从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m. 答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。

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