考点32--一次函数与二次函数模型

JC71

（Ⅱ）设过点P1,P2的直线为l1，过点P2,P3的直线为l2，则直线l1，l2的方程分别为 y?3x?14,y?（步骤6.5）设直线l平行于直线l1，其方程为y?3x?m,代

x2y2??1，入椭圆方程（步骤6）消去y，得16x2?103mx?5(m2?4)?0． 204由??100?3m2?4?16?5(m2?4)?0，解得m?8，或m??8．（步骤7） 从图中可以看出，当m?8时，直线l与C2的公共点到l1的距离最近，此时直线l 的方程为y?3x?8,l与l1之间的距离为d?|14?8|（步骤8） ?3．

1?3又直线l2到C1和C2的最短距离d??6?65所以考察区域边界到冰,而d??3，

5川边界线的最短距离为3．设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为n年，

0.2(2n?1)则由题设及等比数列求和公式，得…3，所以n…4．

2?1故冰川边界线移动到考察区域所需的时间为4年. （步骤9）

11.（09湖南T19）

某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2?x)x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元.

（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；

（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？

【测量目标】二次函数模型，利用导数求函数的最值，导数在实际问题中的应用. 【难易程度】简单

【试题解析】（Ⅰ）设需要新建n个桥墩，(n?1)x?m,即n?m?1（步骤1） x所以y?f(x)?256n?(n?1)(2? ?x)x?256(mm?1)?(2?x)x xx256m?mx?2m?256.（步骤2） x325613m(x2?512) （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f?(x)??2?mx2?2x22x32 令f?(x)?0,得x?512，所以x?64（步骤3）

当0

当64＜x＜640时，f?(x)＞0. f(x)在区间（64，640）内为增函数， 所以f(x)在x=64处取得最小值，此时，n?故需新建9个桥墩才能使y最小.（步骤4）

12.（09山东T21）两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧?AB上选择一点C建造

垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响 度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对 城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城

m640?1??1?9 x64A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方

成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在?AB的中点时，对城A和城B的总影响度为

0.065.

（1）将y表示成x的函数；

（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧?AB上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂 对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由.

【测量目标】求函数解析式，函数图象的应用，二次函数模型，基本不等式求最值. 【难易程度】较难

22【试题解析】（1）如图,由题意知AC?BC,BC?400?x,

y?4k?(0?x?20)，（步骤1） 22x400?x其中当x?102时，y?0.065,?k?9，（步骤2）

?y表示成x的函数为y?49?(0?x?20).（步骤3） x2400?x2

ZH68

49?, mn4949m?n14n9m11?y???(?)?[13?(?)]…(13?12)?，（步骤4）

mnmn400400mn4001622（2）设m?x，n?400?x,则m?n?400,y?当且仅当

?n?2404n9m?，即?时取“?”.（步骤5） mn?m?16049?在?0,160?上为减函数, 在?160,400?上为增函数. m400?m下面证明函数y?设0?m1?m2?160,则y1?y2?4949??(?) m1400?m1m2400?m2 ?(4(m2?m1)9(m1?m2)4499 ?)?(?)??m1m2400?m1400?m2m1m2(400?m1)(400?m2)4(400?m1)(400?m2)?9m1m249, ?]?(m2?m1)m1m2(400?m1)(400?m2)m1m2(400?m1)(400?m2)?(m2?m1)[（步骤6）

?0?m1?m2?160,?4(400?m1)(400?m2)?4?240?240，9 m1m2<9?160?160，

?4(400?m1)(400?m2)?9m1m2?0, （步骤7）

m1m2(400?m1)(400?m2)4(400?m1)(400?m2)?9m1m2?0，即y1?y2，

m1m2(400?m1)(400?m2)?(m2?m1)函数y?49?在?0,160?上为减函数.（步骤8） m400?m49同理,函数y??在?160,400?上为增函数,设160?m1?m2?400,则

m400?my1?y2?4(400?m1)(400?m2)?9m1m24949??(?)?(m2?m1), m1400?m1m2400?m2m1m2(400?m1)(400?m2)（步骤9）

?160?m1?m2?400,?4(400?m1)(400?m2)?4?240?240, 9 m1m2?9?160?160，?4(400?m1)(400?m2)?9m1m2?0,（步骤10）

m1m2(400?m1)(400?m2)?(m2?m1)函数y?4(400?m1)(400?m2)?9m1m2?0，即y1?y2，

m1m2(400?m1)(400?m2)49?在?160,400?上为增函数.（步骤11） m400?m?当m?160，即x?410时取“?”,函数y有最小值,（步骤12）

所以弧?AB上存在一点，当x?410时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小.（步骤13）