近世代数答案1

近世代数习题解答

第一章 基本概念

1 集合

1.B?A,但B不是A的真子集,这个情况什么时候才能出现? 解 ?只有在A?B时, 才能出现题中说述情况.证明 如下

当A?B,但B不是A的真子集,可知凡是属于A而a?B,显然矛盾; 若B?A,但B不是A的真子集,可知凡属于A的元不可能属于B,故A?B

2.假定A?B,A?B??,A∩B=? 解? 此时, A∩B=A,

这是因为A∩B=A及由A?B得A?A∩B=A,故A?B?A,A?B?B, 及由A?B得A?B?B,故A?B?B,

2 映射

1.A=?1,2,3,??，100?,找一个A?A到A的映射. 解? 此时?1(a1,a2)?1 a1,a2?A ?2(a1,a2)?a1 易证?1,?2都是A?A到A的映射.

2.在你为习题1所找到的映射之下,是不是A的每一个元都是A?A到A的一个元的的象? 解?容易说明在?1之下,有A的元不是A?A的任何元的象;容易验证在?2之下,A的每个元都是A?A的象.

3 代数运算

1.A={所有不等于零的偶数}.找到一个集合D ,使得普通除法 是A?A到D的代数运算;是不是找的到这样的D?

解?取D为全体有理数集,易见普通除法是A?A到D的代数运算;同时说明这样的D不

只一个.

2.A??a,b,c?.规定A的两个不同的代数运算. 解?

a

a b c a b c

a

a b c a a a

b b c a

c

c a b

b c

d a a a a a

4 结合律

1.A={所有不等于零的实数}.?是普通除法:a?b? 解? 这个代数运算不适合结合律: (1?1)?2?

2.A={所有实数}.?: (a,b)?a?2b?a?b这个代数运算适合不适合结合律?

解? 这个代数运算不适合结合律

(a?b)?c?a?2b?2c,a?(b?c)?a?2b?4c (a?b)?c?a?(b?c) 除非c?0.

12ab.这个代数运算适合不适合结合律?

, 1?(1?2)?2 ,从而 (1?1)?2?1?(1?2).

3.A={a,b,c},由表

所给的代数运算适合不适合结合律?

解? 经过27个结合等式后可以得出所给的代数运算适合结合律.

a

a b c a b c

b b c a c

c a b

5 交换律

1.A={所有实数}.?是普通减法:a?b?a?b.这个代数运算适合不适合交换律?

解? 一般地a?b?b?a 除非a?b.

2.A?{a,b,c,d},由表

a b c d

a b c d a b c d b d a c c a b d d c a b

所给出代数运算适合不适合交换律? 解? c?d?d, d?c?a

从而c?d?d?c.故所给的代数运算不适合交换律.

6 分配律

假定:?,?是A的两个代数运算,并且?适合结合律,

?,?适合两个分配律.证明

(a1?b1)?(a1?b2)?(a2?b1)?(a2?b2) ?(a1?b1)?(a2?b1)?(a1?b2)?(a2?b2) 证?(a1?b1)?(a1?b2)?(a2?b1)?(a2?b2) =[(a1?a2)?b1]?[(a1?a2)?b2] =(a1?a2)?(b1?b2)

=[a1?(b1?b2)]?[a2?(b1?b2)]

?(a1?b1)?(a2?b1)?(a1?b2)?(a2?b2)

7 一 一 映射、变换

??? 1.A={所有?0的实数},A?{所有实数}.找一个A与A间的意义映射.

证 ?:a?a?loga 因为a是大于零的实数,所以loga是实数

????????? 即 a?A,而a?A,而且a?b?loga?logb.因此?是A到A的映射.

??又给了一个A的任意元a,一定有一个A的元a,满足loga?a,因此?是A到A的满射.

a?a?loga b?b?logb

?若 a?b, 则 loga?logb.即 a?b?a?b 因此?又是A到A的单射.总之,

??是A到A的一一映射.

????? 2. A={所有?0的实数},A?{所有实数a,0?a?1}. 找一个A到A的满射.

? 证 ?:a?a?sina,容易验证?是A到A的满射.

?1 3.假定?是A与A间的一个一一映射,a是A的一个元.?[?(A)]??

?

?[?(a)]??若?是A的一个一一变换,这两个问题的回答又该是什么?

解? ?[?(a)]?a, ?[?(a)]?a未必有意义;当?是A的一一变换时,?[?(a)]?a,?[?(a)]?a.

?1?1?1?1?18 同态

? 1.A={所有实数x},A的代数运算是普通乘法.以下映射是不是A到A的一个子集A的同态满射?

2 a)x?x b)x?2x c)x?x d)x??x

?证? a) 显然A?{所有?0的实数}.又由于 xy?xy?xy

? 可知x?x是A到A的同态满射.

? b)由于xy?2xy?(2x)(2y) ( 除非xy?0)所以x?2x不是A到A的同态满射.

c)由于xy?(xy)?(x)(y),易知x?x是A到A的同态满射.这里

?0的实数}.

?2222??A={所有

d)一般来说,?xy?(?x)(?y),:所以x??x不是A到A的同态满射 .

?????????2. 假定A和A对于代数运算?和?来说同态，A和A对于代数运算?和?来说同态，证明 A和A对于代数运算?和?来说同态。

?????证: 用?1: a?a 表示A到A的同态满射,?2 a?a 表示A到A的同态满射.

???????? 令?： a?a??2[?(a)1],容易验证?是A到A的满射 a?b??2[?1(a?b)]??2[(a?b)]?a?b

?? 所以?是A和A的关于代数运算?,?来说的同态满射。

9 同构、自同构

1.A={a,b,c},代数运算?由下表给定

a b c

a b c c c c c c c c c c

找出所有A的一一变换.对于代数运算?来说,这些一一变换是否是A 的子同构.

证 : 所有A的一一变换有6个 ?1:a?a b?b c?c ?2:a?b b?a c?c ?3:a?b b?c c?a ?4:a?c b?b c?a ?5:a?c b?a c?b ?6:a?a b?c c?b 容易验证?1及?2是A的子同构.