上海市杨浦高三4月质量调研（二模）数学（理科）试题有答案

杨浦区2015学年度第二学期高三年级学业质量调研

数学理 2016.04.12

一、填空题

k]1.函数

x?2的定义域为 .

f(x)?x?1，若该线性方程组的解为，则实数a=

?1?13???1??????a34??2?2.已知线性方程组的增广矩阵为

. 3.计算

1?2?3??n= .

limn??n2?1[:网]4.若向量a、b满足

|a|?1,|b|?2，且a与b的夹角为π，则|a?b|? . 35.若复数

z1?3?4i,z2?1?2i，其中i是虚数单位，则复数|z1|i6.1?z2的虚部为 .

[:Z|xx|k](?x)x6的展开式中，常数项为 .

7.已知△ABC的内角A、B、C所对应边的长度分别为a、b、c，若

acca??bb?a，则角bC的大小是 .

8.已知等比数列

{an}的各项均为正数，且满足：a1a7?4，则数列{log2an}的前7项之和为 . 9.在极坐标系中曲线C：??2cos?上的点到(1,π)距离的最大值为 .

[:学科网Z|X|X|K]

10.袋中有5只大小相同的乒乓球，编号为1至5，从袋中随机抽取3只，若以?表示取到球中的最大号码，则?的数学期望是 . 11.已知双曲线

的右焦点为F，过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲y2x??142线交于点P，M在直线PF上，且满足OM?PF?0，则

|PM| .

|PF|?12.现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有 .(用数字作答)

13.若关于x的方程

在(0,?∞)内恰有三个相异实根，则实数m的取值54(4x?)?|5x?|?mxx范围为 .

14.课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法.祖暅原理也可用来求旋转体的体积.现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理(图1)，即可求得球的体积公式.请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为x2，将此椭圆绕y轴旋转一周后，y2??1425得一橄榄状的几何体(图2)，其体积等于 .

二、选择题

15.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,?∞)上递增的是( ) A.

y?2|x| B.y?lnx C.

y?x13 D.

1

y?x?x16.已知直线l的倾斜角为?，斜率为k，则“

π”是“k?3”的( ) ??3A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 17.设x，y，z是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是( )

A.

11 B.x?3?x?1≤x?2?x x?2≥x?xx2C.

D.|x?y|≤|x?z|?|y?z| 1|x?y|?≥2x?y18.已知命题：“若a，b为异面直线，平面?过直线a且与直线b平行，则直线b与平面?的距离等于异面直线a，b之间的距离”为真命题.

[:]根据上述命题，若a，b为异面直线，且它们之间的距离为d，则空间中与a，b均异面且距离也均为d的直线c的条数为( )

A0条 B.1条 C.多于1条，但为有限条 D.无数多条

三、解答题

19.如图，底面是直角三角形的直三棱柱

ABC?ABC中，

111，D是棱1AC?BC?AA1?12AA1上的动点.

(1)证明：

DC1?BC； (2)求三棱锥

C?BDC的体积.

1

20.某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA及PB，现打算用它们和两面成直角的墙OM、ON围成一个如图所示的四边形菜园OAPB(假设OM、ON这两面墙都足够长).已知|PA|=|PB|=10 (米)，

π，?OAP??OBP.设?OAP??，四边形OAPB的面积为S.

?AOP??BOP?4(1)将S表示为?的函数，并写出自变量?的取值范围； (2)求出S的最大值，并指出此时所对应?的值.

21.已知函数

f(x)?ax?log2(2?1)x，其中a?R.

[:Z.xx.k](1)根据a的不同取值，讨论f(x)的奇偶性，并说明理由；

(2)已知a>0，函数f(x)的反函数为?1f(x)，若函数y?f(x)?f?1(x)在区间[1,2]上的最小值为1?log3，求函数f(x)在区间[1,2]上的最大值.

2

22.已知椭圆C：

的焦距为23，且右焦点F与短轴的两个端点组成x2y2?2?1(a?b?0)2ab一个正三角形.若直线l与椭圆C交于A(x,y)、B(x,y)，且在椭圆C上存在点M，使得：

1122(其中O为坐标原点)，则称直线l具有性质H. 34OM?OA?OB55(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线l垂直于x轴，且具有性质H，求直线l的方程；

(3)求证：在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP都具有性质H.

23.已知数列

{an}和{bn}满足：a1??,nan?1?(n?1)an?n(n?1),n?N*，且对一切

n?N*，均有bb12bn?(2)an.

(1)求证：数列a为等差数列，并求数列

{an}的通项公式； n{}n(2)若??2，求数列

{bn}的前n项和Sn；