高考数学(理)(全国通用版)大一轮复习检测 第八篇第6节 曲线与方程 word版含答案

10.已知双曲线-y2=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P(x1,y1),Q(x1,-y1)是双曲线上不同于A1,A2的两个不同的动点,则直线A1P与A2Q交点的轨迹方程为 .

解析:由题设知|x1|>,A1(-,0),A2(,0),则有 直线A1P的方程为y=直线A2Q的方程为y=联立①②,解得

(x+), ① (x-), ② 所以

③

所以x≠0,且|x|<,因为点P(x1,y1)在双曲线-y2=1上,所以-=1. 将③代入上式,整理得所求轨迹的方程为+y2=1(x≠0,且x≠±). 答案:+y2=1(x≠0,且x≠±)

能力提升练(时间:15分钟)

【教师备用】 设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点.若=2,且

·=1,则点P的轨迹方程是( A )

(A)x2+3y2=1(x>0,y>0) (B)x2-3y2=1(x>0,y>0)

(C)3x2-y2=1(x>0,y>0) (D)3x2+y2=1(x>0,y>0)

解析:设A(a,0),B(0,b),a>0,b>0, 由=2,得(x,y-b)=2(a-x,-y), 即a=x>0,b=3y>0.(*) 点Q(-x,y), 故由

·=1,得(-x,y)·(-a,b)=1,

即ax+by=1.

将(*)代入ax+by=1得所求的轨迹方程为x2+3y2=1(x>0,y>0). 11.已知A,B为平面内两定点,过该平面内动点M作直线AB的垂线,垂足为N.若( C )

(A)圆 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)双曲线

解析:以AB所在直线为x轴,AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,设M(x,y),A(-a,0),B(a,0),则N(x,0). 因为

=λ

·

, =λ

·

,其中λ为常数,则动点M的轨迹不可能是

所以y2=λ(x+a)(a-x),即λx2+y2=λa2, 当λ=1时,动点M的轨迹是圆;

当λ>0且λ≠1时,动点M的轨迹是椭圆; 当λ<0时,动点M的轨迹是双曲线; 当λ=0时,动点M的轨迹是直线.

综上,动点M的轨迹不可能是抛物线.故选C.

12.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,A(1,0),B(1,1),C(0,1).映射f将xOy平面上的点P(x,y)对应到另一个平面直角坐标系uO′v上的点P′(2xy,x2-y2),则当点P沿着折线ABC运动时,在映射f的作用下,动点P′的轨迹是( D )

解析:当P沿AB运动时,x=1, 设P′(x′,y′),则

(0≤y≤1)

所以y′=1-(0≤x′≤2,0≤y′≤1). 当P沿BC运动时,y=1, 则

(0≤x≤1),

所以y′=-1(0≤x′≤2,-1≤y′≤0), 由此可知P′的轨迹如D所示,故选D.

13.已知定点F(3,0)和动点P(x,y),H为PF的中点,O为坐标原点,且满足|OH|-|HF|=2.

(1)求点P的轨迹方程;

(2)过点F作直线l与点P的轨迹交于A,B两点,点C(2,0).AC,BC与直线x=分别交于点M,N.试证明:以MN为直径的圆恒过点F. 解:(1)取F′(-3,0),连接PF′, 因为|OH|-|HF|=2,所以|PF′|-|PF|=4, 点P的轨迹是以F′,F为焦点的双曲线的右支, 所以a=2,c=3,所以b2=c2-a2=9-4=5, 所以点P的轨迹方程为-=1(x≥2).

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(,m),N(,n),直线l方程为x=ty+3, 联立

整理得(5t2-4)y2+30ty+25=0,

因为A,C,M三点共线,所以所以m=-·同理n=-·M(,-··

, .

),

) =,

),N(,-·

=(-3,-·)·(-3,-·