广东省2016届高三数学文一轮复习专题突破训练：导数及其应用

即?a?2??1?x??2lnx在区间?0,?上恒成立，

??1?2?又1?x?0，?a?2?2lnx?1?在区间?0,?上恒成立 …………………………4分 1?x?2?221?x??2lnx?2?2lnx?2lnx?1?xx设h?x??2?，x??0,?，则h??x?? …5分 ?221?x?2??1?x??1?x?又令m?x??22?2?2x2?1? ……6分 ?2?2lnx,x??0,?，则m??x???2??2xxxx2??当x??0,?时，m??x??0，m?x?单调递减，?m?x??m???4?2?2ln20???1?2??1??2?，

即h??x??0在?0,?恒成立 ………………………………………………………7分

??1?2?所以h?x?在?0,?单调递增，?h?x??h???1?2??1???2?2??2ln1212?2?4ln2，

故a?2?4ln2，所以实数a的最小值2?4ln2. …………………………………8分 （3）k?y2?y1lnx2?lnx1， …………………………………………………………9分 ?x2?x1x2?x1x1?x212，所以f??x0???lnx?? ……………………10分 ??2xx?xx?x0012又x0?要证k?f??x0?.

2?x2?x1?lnx2?lnx12即证，不妨设0?x1?x2，即证lnx2?lnx1?， ?x2?x1x1?x2x1?x2?x?2?2?1?x1?x2?即证ln………………………………………………………………11分 ?x2x1?1x1设t?2?t?1?4x2?2?， ?1，即证：lnt?t?1t?1x1

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4?2?0，其中t??1,???， ……………………………12分 t?14?2?t??1,????， 事实上：设k?t??lnt?t?1也就是要证：lnt??t?1??4t??t?1??0，……………………………13分 14则k??t????22t?t?1?2t?t?1?t?t?1?所以k?t?在?1,???上单调递增，因此k?t??k?1??0。

9、解：（1）对f?x?求导得, f?(x)?aex?be?x?c， …………1分 由f??x?为偶函数，知f???x??f??x?， …………2分 即(a?b)(e?x?ex)?0,对?x?R成立,所以a?b. …………3分 又f?(0)?a?b?c?2?c,

解得a?1,b?1. …………4分 （2）当c?1时，f(x)?ex?e?x?x，那么

22f?(x)?ex?e?x?1?2ex?e?x?1?1?0. …………6分

故

f(x)在R上为增函数. …………7分

（3）由（1）知f?(x)?ex?e?x?c，

而ex?e?x?2ex?e?x?2,当x?0时,等号成立. …………8分

下面分三种情况进行讨论. 当c?2时，对任意x?R,f?(x)?ex?e?x?c?0，此时f?x?无极值； ……9分 当c?2时，对任意x?0,f?(x)?ex?e?x?2?0，此时f?x?无极值； …10分

2当c?2时，令ex?t,方程t??c?0,即t?ct?1?0有两根，

1tc?c2?4c?c2?4 t1??t2?, …………11分

22所以f??x??0有两个根x1?lnt1,x2?lnt2.

当x1?x?x2时，f??x??0；当x?x2时，f??x??0,

从而f?x?在x?x2处取得极小值. …………13分

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综上，若f?x?有极值，则c的取值范围为(2,??). …………14分 10、解：（1）法一：根据题意：令x?1，可得f(1)?f()?0，

∴f(1)??a?b?0，…………………………………………………………………………1分 经验证，可得当a?b时，对任意x?0，都有f(x)?f()?0，

∴b?a．………………………………………………………………………………………2分 法二：Qf(x)?f()?lnx?ax?111x1xba?lnx??bx xx??ax?ba??bx， xx1?(b?a)(x?)?0，………………………………………………1分

x∴要使上式对任意x?0恒成立，则须有b?a?0，即b?a.……………………………2分 （2）由（1）可知f(x)?lnx?ax?a，且x?0， x1a?ax2?x?a，………………………………………………………3分 ?f'(x)??a?2?2xxx令g(x)??ax2?x?a，

要使f(x)存在两个极值点x1，x2，则须有y?g(x)有两个不相等的正数根，

?a?0?a?0?1?1??1??0??00?a?或，解得或无解，………………………5分 ??2a?2a2???1?4a2?0???1?4a2?0?????g(0)??a?0?g(0)??a?021a?a的取值范围0?a?,可得0??1， 228a2a2a322a3由题意知f()?ln???2lna???ln2，

222aa22x3223x2?3x4?4x?4令h(x)?2lnx??， ?ln2，则h'(x)??2??2x2xx22x而当x?(0,1)时，?3x4?4x?4??3x4?4(1?x)?0，即h'(x)?0， 2?h(x)在(0,

1)上单调递减， 215

∴h(x)?h()??2ln2?4?12163?ln2??3lne?0， 16161a2即0?a?时，f()?0．……………………………………………………………7分

221a?ax2?x?a2（3）∵f'(x)??a?2?，g(x)??ax?x?a， 2xxx2211?1?4a1?1?4a令f'(x)?0得：x1?，x2?，由（2）知0?a?时，y?g(x)的对

22a2a称轴x?1?(1,??)，??1?4a2?0，g(0)??a?0， 2a∴x2?1，又x1x2?1，可得x1?1，

此时，f(x)在(0,x1)上单调递减，(x1,x2)上单调递增，(x2,??)上单调递减， 所以y?f(x)最多只有三个不同的零点,…………………………………………………10分 又∵f(1)?0，

∴f(x)在(x1,1)上递增，即x?[x1,1)时，f(x)?0恒成立，

a2a21a2a2根据（2）可知f()?0且0??所以?(x1,1)，即?(0,x1)

22822a2∴?x0?(,x1)，使得f(x0)?0，……………………………………………………12分

2由0?x0?x1?1，得

11?1，又f()??f(x0)?0,f(1)?0， x0x0∴f(x)恰有三个不同的零点：x0,1,1. x0综上所述，y?f(x)恰有三个不同的零点．………………………………………………14分 【说明】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,包括函数的极值、零点，二次方程根的分布等知识，考查考生综合运用数学知识解决问题的能力，同时也考查函数与方程思想、化归与转化思想. 11、

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