高考文科数学一轮复习分层练习第三章导数与函数的极值、最值

[基础题组练]

1．函数f(x)＝2x3＋9x2－2在[－4，2]上的最大值和最小值分别是( ) A．25，－2 C．50，－2

B．50，14 D．50，－14

解析：选C.因为f(x)＝2x3＋9x2－2，所以f′(x)＝6x2＋18x，当x∈[－4，－3)或x∈(0，2]时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，当x∈(－3，0)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，由f(－4)＝14，f(－3)＝25，f(0)＝－2，f(2)＝50，故函数f(x)＝2x3＋9x2－2在[－4，2]上的最大值和最小值分别是50，－2.

2．已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，给出下列判断：

1

－3，－?内是增加的； ①函数y＝f(x)在区间?2??②当x＝－2时，函数y＝f(x)取得极小值； ③函数y＝f(x)在区间(－2，2)内是增加的； ④当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值． 则上述判断正确的是( ) A．①② C．①②④

B．②③ D．③④

1

－3，－?内有增有减，故①不正确； 解析：选B.对于①，函数y＝f(x)在区间?2??对于②，当x＝－2时，函数y＝f(x)取得极小值，故②正确；

对于③，当x∈(－2，2)时，恒有f′(x)>0，则函数y＝f(x)在区间(－2，2)上是增加的，故③正确；

对于④，当x＝3时，f′(x)≠0，故④不正确．

3．已知函数f(x)＝2f′(1)ln x－x，则f(x)的极大值为( ) A．2 C．e

B．2ln 2－2 D．2－e

2f′（1）

解析：选B.函数f(x)定义域(0，＋∞)，f′(x)＝－1，所以f′(1)＝1，f(x)＝2ln x－x，

x2

令f′(x)＝－1＝0，解得x＝2.当00，当x>2时，f′(x)<0，所以当x＝2时函数

x

1

取得极大值，极大值为2ln 2－2.

4．用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四周分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱的最大容积为( )

A．120 000 cm3 C．150 000 cm3

B．128 000 cm3 D．158 000 cm3

120－x

解析：选B.设水箱底长为x cm，则高为cm.

2120－x??＞0，由?2得0＜x＜120. ??x＞0，

1

设容器的容积为y cm3，则有y＝－x3＋60x2.

23

求导数，有y′＝－x2＋120x.

2令y′＝0，解得x＝80(x＝0舍去)．

当x∈(0，80)时，y′＞0；当x∈(80，120)时，y′＜0.

1

因此，x＝80是函数y＝－x3＋60x2的极大值点，也是最大值点，

2此时y＝128 000.故选B.

5．函数f(x)＝3x2＋ln x－2x的极值点的个数是( ) A．0 C．2

解析：选A.函数定义域为(0，＋∞)， 6x2－2x＋11

且f′(x)＝6x＋－2＝，

xx

由于x>0，g(x)＝6x2－2x＋1的Δ＝－20<0， 所以g(x)>0恒成立，故f′(x)>0恒成立， 即f(x)在定义域上是增加的，无极值点．

6．函数f(x)＝x3－3x2＋4在x＝ 处取得极小值． 解析：由f′(x)＝3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2.列表

x f′(x) f(x) (－∞，0) ＋ 0 0 极大值 (0，2) － 2 0 极小值 (2，＋∞) ＋ B．1 D．无数

所以在x＝2处取得极小值． 答案：2

2

7．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1.若函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为6，则实数a＝ ；若函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是 ．

解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，结合题意f′(1)＝3a＋9＝6，解得a＝－1；若函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则f′(x)＝0在(－1，3)内有2个不相等的实数根，则Δ＝4a2－12（a＋6）>0，??33?f′（－1）>0，解得－

7

??f′（3）>0，

33

－，－3? 答案：－1 ??7?

8．(2020·河南驻马店模拟)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex的极值点，则f′(－2)＝________，f(x)的极小值为________．

解析：由函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex可得f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax－1)ex，因为x＝－2是函数f(x)的极值点，所以f′(－2)＝(－4＋a)e2＋(4－2a－1)e2＝0，即－4＋a＋3－2a＝0，解得a＝－1.所以f′(x)＝(x2＋x－2)ex.令f′(x)＝0可得x＝－2或x＝1.当x<－2或x>1时，f′(x)>0，此时函数f(x)为增函数，当－2

答案：0 －e

mx－n

9．(2020·洛阳尖子生第二次联考)已知函数f(x)＝－ln x，m∈R.

x

(1)若函数f(x)的图象在(2，f(2))处的切线与直线x－y＝0平行，求实数n的值； (2)试讨论函数f(x)在区间[1，＋∞)上的最大值． 解：(1)由题意得f′(x)＝与直线x－y＝0平行，所以

(2)f′(x)＝

n－xn－2

，所以f′(2)＝.由于函数f(x)的图像在(2，f(2))处的切线2x4

－

－

n－2

＝1，解得n＝6. 4

n－x

，令f′(x)<0，得x>n；令f′(x)>0，得x

①当n≤1时，函数f(x)在[1，＋∞)上是减少的， 所以f(x)max＝f(1)＝m－n；

②当n>1时，函数f(x)在[1，n)上是增加的，在(n，＋∞)上是减少的，所以f(x)max＝f(n)＝m－1－ln n.

10．(2019·高考江苏卷节选)设函数f(x)＝(x－a)(x－b)·(x－c)，a，b，c∈R，f′(x)为f(x)的导函数．

(1)若a＝b＝c，f(4)＝8，求a的值；

(2)若a≠b，b＝c，且f(x)和f′(x)的零点均在集合{－3，1，3}中，求f(x)的极小值．

3

解：(1)因为a＝b＝c，所以f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)＝(x－a)3. 因为f(4)＝8，所以(4－a)3＝8，解得a＝2.

(2)因为b＝c，所以f(x)＝(x－a)(x－b)2＝x3－(a＋2b)x2＋b(2a＋b)x－ab2， 2a＋b2a＋b?从而f′(x)＝3(x－b)?x－.令f′(x)＝0，得x＝b或x＝.

33??2a＋b

因为a，b，都在集合{－3，1，3}中，且a≠b，

32a＋b所以＝1，a＝3，b＝－3.

3

此时，f(x)＝(x－3)(x＋3)2，f′(x)＝3(x＋3)(x－1)． 令f′(x)＝0，得x＝－3或x＝1.列表如下： x f′(x) f(x) (－∞，－3) ＋ －3 0 极大值 (－3，1) － 1 0 极小值 (1，＋∞) ＋ 所以f(x)的极小值为f(1)＝(1－3)(1＋3)2＝－32. [综合题组练]

1．(2020·郑州质检)若函数y＝f(x)存在n－1(n∈N*)个极值点，则称y＝f(x)为n折函数，例如f(x)＝x2为2折函数．已知函数f(x)＝(x＋1)ex－x(x＋2)2，则f(x)为( )

A．2折函数 C．4折函数

B．3折函数 D．5折函数

解析：选C.f′(x)＝(x＋2)ex－(x＋2)(3x＋2)＝(x＋2)·(ex－3x－2)，令f′(x)＝0，得x＝－2或ex＝3x＋2.

易知x＝－2是f(x)的一个极值点，

又ex＝3x＋2，结合函数图象，y＝ex与y＝3x＋2有两个交点．又e2≠3×(－2)＋2＝－4.

所以函数y＝f(x)有3个极值点，则f(x)为4折函数．

2．若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内存在最小值，则实数k的取值范围是 ．

11解析：因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，又因为f′(x)＝4x－，所以由f′(x)＝0解得x＝，x21??k－1<2

由题意得?解得1≤k<.

2

??k－1≥0，

31，? 答案：??2?

ex＋2

3．已知函数f(x)＝.

x

4

－