2021届高考数学一轮复习第一部分考点通关练第五章不等式推理与证明算法初步与复数考点合情推理与演绎推理

考点测试37 合情推理与演绎推理

高考概览

高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度

1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用

考纲研读

2．了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单推理

3．了解合情推理和演绎推理的联系和差异

一、基础小题

1．对于大于或等于2的正整数幂运算有如下分解方式： 2＝1＋3,3＝1＋3＋5,4＝1＋3＋5＋7，… 2＝3＋5,3＝7＋9＋11,4＝13＋15＋17＋19，…

根据以上规律，若m，p均为正整数且m＝1＋3＋5＋…＋11，p的分解式中的最小正整数为21，则m＋p＝( )

A．9 C．11 答案 C

解析 ∵m＝1＋3＋5＋…＋11＝

3

2

2

3

3

3

3

2

2

2

B．10 D．12

1＋11333

×6＝36，∴m＝6.∵2＝3＋5,3＝7＋9＋11,4＝2

3

3

3

13＋15＋17＋19，∴5＝21＋23＋25＋27＋29.∵p的分解式中最小的正整数是21，∴p＝5，

p＝5，∴m＋p＝6＋5＝11，故选C.

2．将棱长相等的正方体按如图所示的形状摆放，从上往下依次为第1层，第2层，第3层，…，则第2019层正方体的个数为( )

A．2018 C．2037171 答案 D

解析 设第n层正方体的个数为an，则a1＝1，an－an－1＝n(n≥2)，所以an－a1＝2＋3＋…

B．4028 D．2039190

＋n，即an＝1＋2＋3＋…＋n＝

nn＋1

2

(n≥2)，故a2019＝1010×2019＝2039190，故选D.

1

3．某演绎推理的“三段论”分解如下：①函数f(x)＝x是减函数；②指数函数y＝

3

ax(0

正确的是( )

A．①→②→③ C．②→①→③ 答案 D

解析 易知大前提是②，小前提是③，结论是①.故排列的次序应为②→③→①.故选D. 4．甲、乙、丙、丁四名同学参加某次过关考试，甲、乙、丙三个人分别去老师处询问成绩，老师给每个人只提供了其他三人的成绩．然后，甲说：我们四人中至少两人不过关；乙说：我们四人中至多两人不过关；丙说：甲、乙、丁恰好有一人过关．假设他们说的都是真的，则下列结论一定正确的是( )

A．甲没过关 C．丙过关 答案 C

解析 基于他们说的都是真的情况下，因为，甲说：我们四人中至少两人不过关；乙说：我们四人中至多两人不过关；所以，可以推出，他们四人中一定只有两人过关，再由丙说：甲、乙、丁恰好有一人过关．所以得到，丙一定过关，故选C.

5．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“

”当作数字“1”，把阴爻“

”当作数字“0”，则八卦所代

”，则其表示的十进

B．乙过关 D．丁过关 B．③→②→① D．②→③→①

1

3

表的数表示如下．依次类推，已知六十四卦中的“屯”卦的符号为“制数是( )

卦名 坤 艮 坎 巽 A．33 C．36 答案 B

符号 表示的二进制数 000 001 010 011 B．34 D．35

表示的十进制数 0 1 2 3

解析 由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“

0

1

2

3

4

”表示的二进制数为

5

100010，转化为十进制数为0×2＋1×2＋0×2＋0×2＋0×2＋1×2＝34.故选B.

6．已知P是圆x＋y＝R上的一个动点，过点P作曲线C的两条互相垂直的切线，切点

2

2

2

x2y2222

分别为M，N，MN的中点为E.若曲线C：2＋2＝1(a＞b＞0)，且R＝a＋b，则点E的轨迹方

abx2y2x2＋y2x2y2222

程为2＋2＝2.若曲线C：2－2＝1(a＞b＞0)，且R＝a－b，则点E的轨迹方程是( ) 2

ababa＋bx2y2x2＋y2A.2－2＝22 aba＋bx2y2x2＋y2C.2＋2＝22 aba＋b答案 B

解析 由于椭圆与双曲线定义中的运算互为逆运算，所以猜想与双曲线对应的点E的轨

x2y2x2＋y2

B．2－2＝22 aba－bx2y2x2＋y2D．2＋2＝22 aba－bx2y2x2＋y2

迹方程为2－2＝2. 2

aba－b7．若数列{an}是等差数列，则数列{bn}?其中bn＝

?

?

a1＋a2＋…＋an?

?也为等差数列．类比这n?

一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为( )

A．dn＝

c1＋c2＋…＋cn

nB．dn＝

c1·c2·…·cn

nnnnnnc1

＋c2＋…＋cnC．dn＝

nD．dn＝c1·c2·…·cn

答案 D

解析 若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋

nn－1

2

n－1dd，所以bn＝a1＋d＝

2

2

d1＋2＋…＋(n－1)

n＋a1－，即{bn}为等差数列；若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝cn＝1·q2

nn－1n－1ncn，所以dn＝c1·c2·…·cn＝c1·q，即{dn}为等比数列．故选D. 1·q2

2

8．在△ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆的半径r＝上面的结论推广到空间，则类似的结论为__________________．

答案 取空间中有三条侧棱两两垂直的三棱锥A－BCD，且AB＝a，AC＝b，AD＝c，三棱锥的外接球的半径r＝

a2＋b2

2

，把

a2＋b2＋c22

解析 取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体A－BCD，且AB＝a，AC＝b，AD＝c，可以

将四面体补成一个长方体，则体对角线即为外接球的直径，即2r＝a＋b＋c，所以r＝

2

2

2

a2＋b2＋c2

2

.则此三棱锥的外接球的半径r＝

a2＋b2＋c2

2

.

5－1

，此2

9．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当FB⊥AB时，其离心率为

类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”可推出“黄金双曲线”的离心率e等于________．

答案

5＋1

2

x2y2

解析 类比“黄金椭圆”，设双曲线方程为2－2＝1(a＞0，b＞0)，则F(－c,0)，B(0，

abb)，A(a,0)，所以FB＝(c，b)，AB＝(－a，b)．易知FB⊥AB，所以FB·AB＝b2－ac＝0，所以c2－a2－ac＝0，即e2－e－1＝0，又e＞1，所以e＝

5＋1

. 2

→

→

→

→

→

→

10．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．

答案 1∶8

解析 由平面图形的面积类比立体图形的体积得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的底面积之比为1∶4，对应高之比为1∶2，所以体积比为1∶8.

11．在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则有cosα＋cosβ＝1.类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则________．

答案 cosα＋cosβ＋cosγ＝2

解析 设长方体的长，宽，高分别为a，b，c，如图所示，所以AC1与下底面所成角为∠

2

2

2

2

2

C1AC，记为α，AC1与平面A1D1DA所成的角记为β，AC1与平面A1B1BA所成的角记为γ，所以AC2a2＋b2a2＋c2b2＋c22222

cosα＝2＝222，同理cosβ＝222，cosγ＝222，所以cosα＋cosβAC1a＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c2

＋cosγ＝2.

2