走进数学

走进数学,无穷快乐

--------浅谈数学之美

要谈这个问题,首先从什么叫数学谈起,什么是数学?小学生认为是算术,重在术,例如竹杆进城与”量井深”；初中生认为数学是几何与代数,代数是用符号表达的语言,主要是研究运算与关系；几何主要研究形状,大小和空间。由此马克思从哲学角度给数学以这样的定义：”数学是研究数量关系与空间形式的科学”,这仅是从一个角度对数学给予定义,而我们根据数学的特点,多角度多维度看数学：①数学是术，是用来解决生产与生活的计算方法（中国九章算术）；②是理念，是关于世界本质的学问（古希腊）；③是一个公理体系（特别是几何）；④是结构的科学（小孩从拓扑到度量几何）（课改注重体到面，符合儿童认知）；⑤是关于现实世界的空间形式和数量关系的科学；是关于模式程序的科学；⑥是科学，是一门创造的艺术，也是一门技术（玻利亚）；⑦是一种语言（语意学，语音学）（与数学贴近，亲切，自然语言、符号语言、图表语言的交融转化）；⑧是一种文化（抽象材料，子文化），公民应具的素养）。百家之言，各有角度认识。若从数学是一种文化来看数学具有独特魅力，如动静、常变，微分与积分等对立统一、辨证协调，这种子文化渗透于社会方面，道琼斯指数，GDP、CPI，恩格尔系数，球面距离，收荒和计算器，红艳用计算机（现代人用现代数学技术）。数学渗透着我们的整个生活,走进数学也就是走进生活,让我们一起走进数学,去了解数学,感受数学之美,体验快乐.

一、 数学的理性，魅力无穷

例1 、我国的人口超过13亿。请回答：存在两个人出生的时间相差不超过2.5秒钟吗？

那好办！搞个人口大普查吧。遗憾的是，人们的出生时间一般记录到几点几分，没有秒的记录；更不好办的是，50岁以上的人，特别是农村人口，出生时间只能精确到日，因此普查的办法是行不通的。可是会数学地思考问题的人，却采取另外的处理方式。看1~100岁的人就够了。100年（都按闰年算）=3600?24?366?100=3162240000秒。如果每2.5秒为1个间隔，3162240000秒3162240000有?1264896000个?12.65亿个抽屉，可以肯定，至少有两个人在同

2.5一个抽屉里，即这两个人出生的时间相差不超过2.5秒钟。所以会数学思考的人不用人口普查，只需要动脑筋算一算，就很快得出了肯定的结论。

例2 、两个边长为0.9的正三角形的纸片，能盖住一个边长为1的正三角形纸片吗？请你简述理由！

盖一盖试一试吗！盖来盖去就是差一点！再试，无穷多种位置的可能性千年万代也试不完呀？怎么办？用数学的思维方式，如果两个边长为0.9的正三角形的纸片，能盖住一个边长为1的正三角形纸片，当然必须盖住边长为1的正三角形的三个顶点A、B、C。于是根据抽屉原则，至少有一个边长为0.9的正三角形的纸片盖住其中的两个点，不妨盖住的是A、B两个点，则AB≤0.9，这与AB=1矛盾！所以，两个边长为0.9的正三角形的纸片，无论怎样放置，都盖不住一个边长为1的正三角形纸片。

简洁有力的数学推理，跨越了永无止境的试来试去！如果你想到了这个证法，你会油然而生一种成就感，这是多么美好的精神享受哇！

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例3 、已知A+a=B+b=C+c=1(A,B,C,a,b,c都是正数)求证Ab+Bc+Ca<1.

M

b A

B a

N P c C

例4 、有没有这样的集会，大家见面后互握手，其中奇数次握手的总人数恰好是2003？

若要组织人员去统计，那真是大海里捞针！难！会数学思考问题的人，往往从一般情况入手分析：假设有n个人参加集会，每两个人见面握一次手，对每人都计握手1人次。记握0次手的人有n0个，握1次手的人有n1个，握2次手的人有n2个，……,握k次手的人有nk个，……，则有0?n0+1?n1+2 ?n2+…+k

?n

k+…=2?握手总次数=偶数。于是1?n1?3?n3?5?n5?...?偶数,即

(n1?n3?n5?...)?(2?n3?4?n5?...)?偶数，所以n1?n3?n5?...?偶数.因此会

数学思维的人出口惊人地告诉我们：

握奇数次手的总人数决不能等于2003。

例5 、实现计算过程的数学模型——图灵机。

电子计算机的研制成功是20世纪科学的重大成就之一。而计算过程实现机械化的可行性的证明是由数学家实现的。数学家图灵于1936~1937年发表论文《论可计算数及其对判定问题的应用》，首次对计算的本质进行了深刻的分析。图灵发现在用二进制表示数的情况下，一切计算过程都具有“线性”的性质，即整个计算就表现为一条印着方格的纸带上的一个只含0和1两个数码的数串，每个方格中只有一个数码（0或1）。于是发现计算者所可能做的事，也就是计算的实质只是如下几种活动：

（1） 写上符号0； （2） 写上符号1； （3） 向左移一格； （4） 向右移一格；

（5） 观察现在扫描的符号并相应地选择下一个步骤。 （6） 停止。

计算者执行的程序，也就是这类指令所排列成的表，这就是实现计算过程的数学模型。这个模型就是后来文献中所说的图灵机。它是在不考虑硬件的条件下，对可计算问题的逻辑描述。图灵机理论表明，一切可计算问题都可以机械进行。因此，通用计算机是可以制造出来的。这为现代电子计算机的开发从理论上

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打下了基础。

试想，不用证明可行性，哪个投资者敢向无底洞去投资？既然通用计算机在理论上是可以制造出来的，剩下的事都交给技术工程师去实际完成就可以了。事实上，计算机的5代革命，都是数学领的头。

由以上例子可以看到，数学是一种理性的思维方法，一种推理的方法。是用来解决各种行业中提出的各种问题的一种思维方法。正如华罗庚所说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，地球之变，化工之巧，日用之繁，无处不用数学。” 二、 浪漫的数学,灵动着生活

1、数学在诗歌中

A一去二、三里。B两支，一行，千秋 万里。C“大孤烟直，长河落日圆”（重面与园切线）。D陈子昂“登幽洲台歌”，“前不见古人，后不见来者”（原点标轴，上下两千面）。E“清泉石上流，明月松间照”对仗与对称，蝴蝶 建筑 一滴墨水对折等。

2、数学在理化中(并联、串联电阻，功，CH4)

3、数学在其它方面

①历史、记年、考古等； ②市场经济的蛛网结构。住房按揭贷款，等额本金、等额本息，还贷的利弊； ③教育中初中生a2?b2?(a?b)2，学生对美的认知冲突；

④求根公式之美妙（卡西莫多，内在）； ⑤打麻将概率需要；

⑥管理者学问“公说公有理，婆说婆有理”。 4、数学在数学人的身上，三位数学家的年龄 1．维纳的“完美的年龄”

诺伯特·维纳是美国著名的数学家，是信息论的先驱，也是控制论的奠基者。

诺伯特·维纳11岁时进入大学，15转入著名的哈佛大学，后来获得了博士学位，在博士学位的授证仪式上，维纳一脸稚气，活脱脱一个稚嫩少年的模样，令执行主席非常惊奇，他看不出维纳的实际年龄，于是忍不住当面询问维纳。不料维纳的回答非常有趣而含蓄。他说：“我今年岁数的立方是个四位数，岁数的四次方是个六位数。这两个结果的十个数字，刚好是0~9这十个数字，不重复也没遗漏。这将意味着全体数字都向我俯首称臣，预祝我将在数学领域内能干出一番惊天动地的事业。”话音刚落，满座皆惊。与会者被他的妙题深深地吸引住了。一时，维纳的年龄成为授证仪式中的中心话题。

当与会人士解出这道题的答案后，都对维纳钦佩不已，执行主席对他也另眼相待。大家都折服于维纳的聪明才智和壮志雄心。于是，人们把维纳的年龄称为“完美的年龄”。维纳把十个数字非常巧妙完整地纳入自己当年年龄的题目中，堪称一绝。那么，维纳那年到底多少岁呢？

让我们来算一算，从外貌上看，维纳的岁数应该在20岁左右。

由于203?20?20?20?8000,204?20?20?20?20?160000,

符合第一个条件，但其中出现了重复和遗漏的数字，不符合第二个条件。 我们再来考察一下20左右数的立方及四次方。

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183?5832, 184?104976, 193?6859, 194?1303219, 213?9261, 214?194481, 223?10648, 224?234256.

由上面的分析可知，同时符合维纳所说的条件的，只有183?5832,184?104976,所以维纳18岁时就获得博士学位。

2．丢番图的墓志铭

丢番图是古希腊亚历山大里亚时期的著名数学家，他在不定方程方面取得的成果让世人皆知，关于他的生卒不太详细，但从他的墓碑上的碑文我们可以知道他活了多少岁。他的墓碑上刻着一道谜语般的数学题：“过路人，这座石墓里

11安葬着丢番图，他生命的是幸福的童年，生命的是青少年时期。又过了生

6121命的他才结婚。婚后5年有了一个孩子，孩子活到他父亲一半的年纪便死去了。

7孩子死后，丢番图在深深的悲哀中活了4年，也结束了尘世生涯。过路人，你知道丢番图的年纪吗？”

丢番图的年纪究竟有多大呢？我们可以用方程来求。

1111解: 设他活了x岁，依题意可列出方程x?x?x?5?x?4?x

61272解得 x=84

故我们知道，丢番图活了84岁，在当时那个年代，要算高龄了。当然，我们还可以用求公倍数的方法推出丢番图的年龄。从碑文中的数据知，丢番图的年龄应是6、12、7、2的公倍数。即84、168、256…等；考虑人活的年龄的可能性知，只有84才符合实际，所以，丢番图活了84岁。 3．狄摩根的年龄

狄摩根是19世纪英国数学家，活了65岁，他曾在逻辑研究方面作过贡献，传说，某一年，有人问他：“您多大年龄啦？”在西方，除非亲朋好友，随便问别人年龄是不礼貌。而狄摩根非但没有介意，而且还幽默地说：“我在公元x2年时是x岁。”

问话的人看狄摩根回答得挺认真的，不象是在开玩笑，便认真思考起来，最后通过列方程并利用不同等式，才搞清楚狄摩根的年龄。

其实，要求狄摩根的年龄，有非常简单、容易的解法，就连小学生也能很快给出答案的。

我们不难发现：狄摩根生活的年度在1700—2000年之间（想想，为什么？），而其中只有三个完全平方数，这就是：1764=422、1849=432和1936=442. 也就是说，狄摩根的年龄只有三种可能：1764年时42岁、1849年43岁、1936年44岁。下面只要对这三种情况加以验证，问题便可解决，我们先验证第一种情况：1764年时42岁，那么当他刚活到19世纪时就已70多岁了，显然不符合要求；再来验证第二种情况：1849年时43岁，那么他应是1806年出生，1871年去世，符合实际；最后验证第三种情况：1936年时44岁，那么他应是1892年出生，到19世纪末才8岁，不可能是这一世纪的数学家。因此，答案是

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