数理方程第二版 课后习题答案

证：

一方面，主法线的方程为

另一方面，过圆柱螺线作平面π与轴垂直，π的方程为

的直线显然与轴垂直相交，而其方程为

上任意一点，π与轴的交点为

，过与

这正是主法线的方程，故主法线和轴垂直相交。 证毕 4．在曲线

组成的新曲线的密切平面。 解：令

，则曲线的方程可表示为：

设的副法线向量为，则有

的副法线的正向取单位长，求其端点

根据题意，新曲线的方程可表示为

}

将

代入上式，整理后，得

于是新曲线

的密切平面为：

即：

5. 证明球面曲线的法平面通过球的中心。 证：设曲线

为球心在原点，半径为的球面上的曲线,其中为自然

参数。曲线(C)上任意一点P（P点的向径为）处的基本向量为，，。则有

上式两边关于求导，得

设为法平面上的点的向径，则曲线(C)上任意一点P处的法平面的向量方程为

根据(2)式

6. 证明过原点平行于圆柱螺线锥面证：

。

的副法线的直线的轨迹是

满足方程(3)，故法平面过原点。 证毕

设过原点

且与平行的直线上的点为

,则直线的方程为

化为参数方程，得

则有

这说明直线上的点

都在锥面

上。 证毕

7. 求下列曲线的曲率和挠率。

解: 对于曲线(1)

，

对于曲线(2)

8. 给定曲线

曲率和挠率；（3）验证伏雷内公式。 解: 对于给定曲线，有

，求（1）基本单位向量，，；（2）

其中，