2015年普通高等学校招生全国统一考试（理科数学）

2015年普通高等学校招生全国统一考试(理科数学)

故x1?x2?4k,x1x2??4a.

从而k1?k2?y1?by2?b?x1x22kx1x2?(a?b)(x1?x2)x1x2

?k(a?b) a

当b=-a时，有

k1?k2?0,则直线PM的倾角与直线PN的倾角互补，故?OPM=?OPN，所以点P(0,-a)符合题意

（21）解：

(x0,0)则f(x0)?0,f(x0)?0即1?3?x?ax??0??00（I）设曲线y=f(x)与x轴相切于点?4??3x2?a?0??0?13解得x0,a??243因此，当a??时，x轴为曲线y?f(x)的切线

4（II）当

x?(1,??)时，g(x)??1nx?0,从而h(x)=min?f(x),g(x)??g(x)?0,故h(x)在(1,??)无零点55当x?1时，若a??则f(1)?a??0,h(1)?min?f(1),g(1)??g(1)?0,故x?

445是h(x)的零点；若a??,则f(1)<0,h(1)=min?f(1),g(1)??f(1)?0,故x?1不是h(x4当x?(时，0x,1?)n?所以只需考虑xg?()(x)在（10,1）的零点个数0.

的零点

（i）若a?-3或a?0,则f?（x）=3x2+a在（1,0）无零点，故f(x)在（0,1）单调

15f(0)?,f(1)a?,所以当a?-3时，f(x)在（0,1）有一个零点；当a?0时f(x)在（1,0）没有零点44aa(ii)若?3?a?0,则f(x)在（0，?)单调递减，在（?,1）单调递增，故在（0,1）中

33a2aa1当x??a时，f(x)取得最小值，最小值为f(?)??? 33334

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①若f(?a3)?0.即?34?a?0,f(x)在（0,1）无零点；②若f(?a3)=0,即a=-34则f(x)在(0,1)有唯一零点

③若f(?a3)?0,即?3?a??34,由于f(0)?14,f(1)?a?54?a??34时，f(x)在（0,1）有两个零点；当-3

综上，当

a??34或a<-54时，h(x)有一个零点；当a??354或a??4时，h(x)有两个零点当?534?a??4时，h(x)有三个零点.

（22）解：

（I）链接AE，由已知得，AE?BCAC?AB

在Rt?AEC中，由已知得，DE=DC故?DEC??DCE

链接OE，则?OBE=?OEB又?ACB+?ABC=90°所以?DEC+?OEB=90° 故?OED?90o，DE是

O得切线

（II）设CE=1，AE=X，由已知得AB?23，BE?12?x2 由摄影定理可得，AE=CE.BE，所以x2?12?x2即x4?x2?12?0

可得x?3，所以?ACB?60o

（23）解：

（I）因为x??cos?，y??sin?，所以C1的极坐标方程为?cos???2，10 / 11

C2的极坐标方程为

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?2?2?cos??4?sin??4?0。 ……5分

（II）将???422代入??2?cos??4?sin??4?0，得??32??4?0，解得?1?22，?2?2。故?1??2?2，即MN?2。

1。 ……10分 2 由于C2的半径为1，所以?C2MN的面积为

（24）解：

（I）当a?1时，f?x??1化为x?1?2x?1?1?0， 当x??1时，不等式化为x?4?0，无解；

2?x?1； 3 当x?1时，不等式化为?x?2?0，解得1?x?2。

当?1?x?1时，不等式化为3x?2?0，解得 所以f?x??1的解集为?x?2??x?2?。 ……5分 ?3??x?1?2a,x??1,? （II）由题设可得，f?x???3x?1?2a,?1?x?a,

??x?1?2a,x?a,? 所以函数f?x?的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A??2a?1?,0?，B?2a?1,0?，C?a,a?1?，3??22?a?1?。 322 由题设得?a?1??6，故a?2。

3?ABC的面积为

所以a的取值范围为?2,??? ……10分

B卷选择题 一、 选择题

（1）D （2）A （3）C （4）A (5) D (6) B

(7) D (8) A (9) C (10) C (11) B (12) A

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