高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题（含答案）- 副本

（3）证明：对任意的整数m?4，有

1117????? a4a5am8分析：⑴由递推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2；

⑵由已知得：an?Sn?Sn?1?2an?(?1)n?2an?1?(?1)n?1（n>1） 化简得：an?2an?1?2(?1)n?1

anan?1anan?122??2?2???2[?] ,nn?1nn?133(?1)(?1)(?1)(?1)故数列{

an22?}是以为首项, 公比为?2的等比数列. ?a?1n33(?1)故

an212n?2n?1??(?)(?2) ∴a?[2?(?1)n] nn333(?1)∴数列{an}的通项公式为：an?2n?2[2?(?1)n]. 3⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而左边

=

1113111?????[2?3???m?2]，如果我们把上式中的分母中的?1去掉，就可利ma4a5am22?12?12?(?1)用等比数列的前n项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：

1111， ???23232?12?12211111，因此，可将保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对???22?123?124?12324m进行分类讨论，（1）当m为偶数(m?4)时，

11111111??????(?)???(?) a4a5ama4a5a6am?1am ?13111?(3?4???m?2) 222221311??(1?m?4) 2242137?? 288 ? ?（2）当m是奇数(m?4)时，m?1为偶数，

111111117???????????? a4a5ama4a5a6amam?185

所以对任意整数m?4，有

1117?????。 a4a5am8本题的关键是并项后进行适当的放缩。

3.（07武汉市模拟）定义数列如下：a1?2,an?1?an?an?1,n?N?

求证：（1）对于n?N?恒有an?1?an成立； （2）当n?2且n?N?，有an?1?anan?1?a2a1?1成立； （3）1?2122006?111?????1 a1a2a2006分析：（1）用数学归纳法易证。

（2）由an?1?an?an?1得：an?1?1?an(an?1)?an?1?an?1(an?1?1) ? ? a2?1?a1(a1?1)

以上各式两边分别相乘得： an?1?1?anan?1?a2a1(a1?1)，又a1?2 ?an?1?anan?1?a2a1?1 （3）要证不等式1?2122006?111?????1， a1a2a2006可先设法求和：

111????，再进行适当的放缩。 a1a2a20061an?1?1?11111???? an?1ananan?1an?1?1?an?1?1?an(an?1)??111111111?????(?)?(?)???(?) a1a2a2006a1?1a2?1a2?1a3?1a2006?1a2007?11112006?22006 ??1??1又a1a2?a2006?a1a1?1a2007?1a1a2?a200611?1?2006?原不等式得证。

a1a2?a20062??1?本题的关键是根据题设条件裂项求和。

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用放缩法处理数列和不等问题

一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）

例1．正数数列?an?的前n项的和Sn，满足2Sn?an?1，试求： （1）数列?an?的通项公式；（2）设bn?

真题演练1：设数列?an?的前n项的和,Sn?11，数列?bn?的前n项的和为Bn，求证：Bn? anan?12412?? an??2n?1?，n?1,2,3,?333n2n3（Ⅰ）求首项a1与通项an；（Ⅱ）设Tn?，n?1,2,3,???，证明：?Ti?.

Sn2i?1

二．先放缩再求和

1．放缩后成等比数列，再求和

1例2．等比数列?an?中，a1??，前n项的和为Sn，且S7,S9,S8成等差数列．

2a1设bn?n，数列?bn?前n项的和为Tn，证明：Tn?．

1?an3

7

2

3．放缩后成等差数列，再求和

2?an?2Sn. 例4．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且anan2?an?12(1) 求证：Sn?；

4(2) 求证：

2.已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn?2an?(?1)n， n?1

（1）写出数列{an}的前三项a1，a2，a3；（2）求数列{an}的通项公式； （3）证明：对任意的整数m?4，有

Sn2?S1?S2?????Sn?Sn?1?12

1117????? a4a5am88