线性代数模拟题及答案

有一个非零解向量．所以

T*31T1??(???)?(???)?[?5,4,?1],??(???)?[?1,12231222,2] 记

易知，向量γ为齐次线性方程组ＡＸ＝Ｏ的基础解系，向量η为三元非齐次线性方程组ＡＸ＝?的特解，故三元非齐次线性方程组ＡＸ＝?的通解为：

??1???5?????X*??32??k?4??1????1???2?4．

（ｋ为任意常数）．

?E?A?(??2)2(??2)A的特征值为?1??2?2，?3??2?a?1??2?a?1??2????2E?A??000???0?2a?b0???4?b2??000?????因A与对角阵相似，故有R（2E?A）?2?2a?b?0

5．由1+4+5=2+2+y，得y=6；2对应的特征向量为（-1，1，0）T，（1，0，1）T；6对

TT

应的特征向量为（1，-2，3）或（1/3，-2/3，1）；P略

6． 由于f中含变量x1的平方项，故先集中含x1的项配方，就得到

222f?x?(4x?2x)x?x?2xx?2x12312233

22222?x?(4x?2x)x?(2x?x)?(2x?x)?x?2xx?2x123123232233

??222 ?(x1?2x2?x3)?3x2?6x2x3?3x3

22 ?(x1?2x2?x3)?3(x2?x3)

令

?y1?x1?2x2?x3?x2?x3?y2??y?x3?322 即

?x1?y1?2y2?y3?y2?y3?x2??x?y3?3

把f化为平方和

f?y1?3y2

所用的非奇异线性变换矩阵为

?121???C??011??001??? （｜Ｃ｜＝１≠０）

7．解：设

x1?1?x2?2?x3?3?? （*） ?,?,?，则A的行列式

令A=（123）

a11A?1a1?(a?1)2(a?2)11a

（1）当a?1且a??2时，性表示,表法唯一；

A?0，方程组（*）有唯一解，此时向量β可由?1,?2,?3线

（2）当a??2时,对方程组（*）的增广矩阵施行行初等变换：

11???21?11?24????03?3?2?A??1?21?2??????1?24?6??1??000?

?,?,?此时可得R?A??2?3?R(A)，所以方程组（*）无解，即向量β不能由123线性

表示；

（3）a=1时，对方程组（*）的增广矩阵施行行初等变换：

?1111??1111????0000?A??1111???????1111???0000??

?,?,?此时可得R?A??1?R(A)?3，所以方程组（*）有无穷多解，即向量β可由123线

性表示,且表法不唯一．

（*）的通解：k1（-1，1，0）T+k2（（-1，0，1）T+（1，0，0）=（1-k1-k2，k1，k2）T

??(1?k1?k2)?1?k1?2?k2?3 四．

已知向量组?，?，? 线性无关，向量组?，?，? 线性相关。?，?，? 线性表示。 证明：? 必可由向量组

模拟试题二

一、填空题 （每小题2分，共20分）

x31．设f（x）= 411?3?212x21113x?4 ，则f（x）的展开式中x4?的系数为 ? ，

?

01?x0abc00000ef的值为

?100d2．行列式00

23．设矩阵A满足?A?A?4E = 0 ，其中E为单位阵，则 (A?E) = a11a124．设行列式D =

a13 = a

2a113a12?a11，则行列式D1 =

4a13?a12a21a22a23a31a32a332a213a22?a214a23?a222a313a32?a314a33?a32

= ．

?11???1,,??T23??????，则?An = ． 1,2,3??5．设????= ，???= ，且A = 6．设A为三阶方阵，A*为A的伴随矩阵，

A?1?1?,(4A)?2A4则 = 。

?101???020????201??? ，

7．设3阶方阵A 、B满足?AB?A?B = E ，其中E为3阶单位阵，若A = 则

2B= ．

?1????1??1??0????1??5??????2??3??3??3???1??t????? 线性无关 , ,

8．t 满足 时,

?2??1??0??0??0?????????????3??1??1??0??0??????1???，?2???，?3???，?4???11110???????????4??1??1??1??1?4?????????? 下的坐标R9．中的向量? 在基?

为 ） ．

10．设A为3阶方阵，其特征值为3，-1，2，则2A2-3A+E的特征值为 10, 6, 3

二、单项选择题 (每小题2分，共10分)

?AO?C???OB????, 则C* = ( ). 1. 设A,B为方阵, 分块对角阵

?AA?O??A?O????????O?OB??BB?? ② ?① ?

?BA???O③ ?O????AB? ④

?ABA???O?????ABB? O2. 设A是m×n矩阵,若非齐次线性方程组AX = B 的解不唯一,则结论( )成立.

① A的秩小于m ② m < n ③ A是零矩阵 ④ AX = 0 的解不唯一 3．设λ1 ，λ2是矩阵A的两个不相同的特征值，ξ，η是A的分别属于λ1 ，λ2的特征向量，则（ ）。

① 对任意k1 ≠ 0 ，k2 ≠ 0 ，k1 ξ+ k2η都是A的特征向量 ② 存在常数k1 ≠ 0 ，k2 ≠ 0 ，使k1 ξ+ k2η是A的特征向量

③ 当k1 ≠ 0 ，k2 ≠ 0时 ，k1 ξ+ k2η不可能是A的特征向量

④ 存在唯一的一组常数k1 ≠ 0 ，k2 ≠ 0 ，使k1 ξ+ k2η是A的特征向量

4．向量组?1,?2,?,?s线性无关的充分条件是 。

① ?1,?2,?,?s均为非零向量。

② ?1,?2,?,?s中任意两个向量的分量不成比例。 ③ ?1,?2,?,?s中任意一个向量不能被其余向量线性表示。 ④ ?1,?2,?,?s中有一个部分组线性无关。

5. 下列结论正确的是( ).

① X1, X2是方程组(?E?A)X=O的一个基础解系, 则k1X1+k2X2是A的属于?的全部特征向量,其中k1, k2 是全不为零的常数 ② A, B有相同的特征值, 则A与B相似

③ 如果

A=0, 则A至少有一个特征值为零

④ 若?同是方阵A与B的特征值, 则?也是A+B的特征值 三、计算题 ( 1——4题每题8分，5——6题每题14分，共60分)

1． 若a1,a2,?,an?1互不相同,求解方程:

1xx2?xn?11a1a12?a1n?12n?1f(x)?1a2?0a2?a2?????2n?11aa?an?1n?1n?1

2．已知向量组?1,?2,?3线性无关，若?1?2?2,2?2?a?3,3?3?2?1线性相关，求a.

?2??4??2??6??????????1?2?1????????3??1???, ?2???, ?3???, ?4???.3548?????????1??4???1??5?????????求此向量组的秩和一个极大3. 设

无关组, 并将其余向量用该极大无关组线性表示.

4．设X1, X2, X3 是线性方程组AX = B的三个解, 其中 A是3×4矩阵,

A的秩为2, X1 = ( -1,2,1,1 )T , X2 = ( 2,3,1,1 )T , X3 = ( 2,1,1,3 )T