2020版高考数学一轮总复习 第四单元 三角函数与解三角形 课时9 正弦定理、余弦定理 文(含解析)新人教A版

正弦定理、余弦定理的综合应用

1．在△ABC中，若sinA＋sinB

3

2．在△ABC中，两边的差为2，两边夹角的余弦值为，且三角形面积为14，则这两边

5的长分别是(D)

A．3,5 B．4,6 C．6,8 D．5,7

341

不妨设两边为b，c(b>c)，则b－c＝2，cos A＝，则sin A＝，所以S△ABC＝

5522

5

2

2

2

bcsin A＝bc＝14，所以bc＝35.

所以b＝7，c＝5.

3．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于(C)

A．240(3－1)m B．180(2－1)m C．120(3－1)m D．30(3＋1)m

如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60 m，

在Rt△ACD中，CD＝在Rt△ABD中，BD＝＝60(2－3)m，

60＝＝603 m，

tan ∠ACDtan 30°

6060＝＝ tan ∠ABDtan 75°2＋3

ADAD

所以BC＝CD－BD＝603－60(2－3)＝120(3－1)m.

4．(2016·山东卷)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a＝2b(1－sin A)，则A＝(C)

A.C.

3ππ B. 43ππ D. 46

因为b＝c，所以B＝C.

2

2

πA又由A＋B＋C＝π得B＝－.

22由正弦定理及a＝2b(1－sin A)得 sinA＝2sinB(1－sin A)，

2

2

2

2

A22π

即sinA＝2sin(－)(1－sin A)，

22

即sinA＝2cos(1－sin A)，

2即4sincos＝2cos(1－sin A)，

222整理得cos(1－sin A－2sin)＝0，

22即cos(cos A－sin A)＝0. 2

2

222

2

AA2

A2

AA2

AAAπA因为0

222

π

所以cos A＝sin A．又0

4

5．在相距2千米的A，B两点处测量目标C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点间的距离是

6 千米．

在△ABC中，∠ACB＝180°－60°－75°＝45°.

AC2

由正弦定理得＝，解得AC＝6.

sin 60°sin 45°

6．(2017·浙江卷)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是

15

，cos∠BDC＝ 2

10

. 4

依题意作出图形，如图所示， 则sin∠DBC＝sin∠ABC.

由题意知AB＝AC＝4，BC＝BD＝2， 115

则cos∠ABC＝，sin∠ABC＝.

441

所以S△BDC＝BC·BD·sin∠DBC

211515＝×2×2×＝. 242

1因为cos∠DBC＝－cos∠ABC＝－，

4

所以CD＝BD＋BC－2BD·BC·cos ∠DBC＝10. 由余弦定理，得cos∠BDC＝

4＋10－42×2×10

＝

10

.7.(2017·山东卷)在△ABC中，角A，B，4

2

2

C的对边分别为a，b，c.已知b＝3，AB·AC＝－6，S△ABC＝3，求A和a.

→→

因为AB·AC＝－6，所以bccos A＝－6.

→→

又S△ABC＝3，所以bcsin A＝6. 因此tan A＝－1. 3π

又0

4又b＝3，所以c＝22.

由余弦定理a＝b＋c－2bccos A， 得a＝9＋8－2×3×22×(－所以a＝29.

8．在△ABC中，A∶B＝1∶2，∠C的平分线CD把三角形面积分成3∶2的两部分，则cos A＝(C)

2

2

2

2

2

)＝29， 2

11A. B. 323

C. D．0 4

因为∠C的平分线CD把三角形面积分成3∶2的两部分，

所以AC∶BC＝3∶2，＝＝，

sin Asin Bsin 2A233所以＝，所以cos A＝.

sin A2sin Acos A4

9．(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin

BCACACB＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为

因为bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，

23

. 3

所以由正弦定理得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C. 1

又sin Bsin C ＞0，所以sin A＝.

2

b2＋c2－a284

由余弦定理得cos A＝＝＝＞0，

2bc2bcbc所以cos A＝

3483

，bc＝＝， 2cos A3

1183123

所以S△ABC＝bcsin A＝××＝.

22323

10．(2018·华大新高考联盟教学质量测评)已知△ABC的三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且2cos B(ccos A＋acos C)＝b.

(1)证明：A，B，C成等差数列；

33

(2)若△ABC的面积为，求b的最小值．

2

(1)证明：因为2cos B(ccos A＋acos C)＝b，

所以由正弦定理得2cos B(sin Ccos A＋sin Acos C)＝sin B， 即2cos Bsin(A＋C)＝sin B.

在△ABC中，sin(A＋C)＝sin B，且sin B≠0， 1π

所以cos B＝，因为B∈(0，π)，所以B＝.

23