（四川版）2017中考数学总复习 第六章 圆 第23节 圆的有关性质试题

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第23节 圆的有关性质

一、选择题

︵︵

1．(2017·自贡预测)如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，AB＝BC，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是( D )

A．60° B．45° C．35° D．30°

,第1题图) ,第2题图)

2．(2015·常德)如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为( D )

A．50° B．80° C．100° D．130°

3．(2015·上海)如图，在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是( B )

A．AD＝BD B．OD＝CD

C．∠CAD＝∠CBD D．∠OCA＝∠OCB

,第3题图) ,第4题图)

4．(2015·凉山州)如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC＝40°，则∠A的度数为( D ) A．80° B．100° C．110° D．130°

︵︵︵

5．(2016·聊城)如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是CD上一点，且DF＝BC，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC.若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为( B )

A．45° B．50° C．55° D．60°

,第6题图)

6．(导学号 14952394)(2016·丽水)如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D

︵4

是AC上一点，BD交AC于点E，若BC＝4，AD＝，则AE的长是( C )

5

A．3 B．2 C．1 D．1.2

,第5题图)

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7．(导学号 14952395)(2017·眉山预测)如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为( B )

3

A. B．2 2C.

8131213

D. 1313

点拨：首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小． 二、填空题

8．(2015·宁夏)如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC.若AB＝2622，∠BCD＝30°，则⊙O的半径为____．

3,第8题图) ,第9题图)

9．(2016·永州)如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB＝40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC＝__35__度．

10．(导学号 14952396)(2015·南京)如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B＋∠E＝__215__°.

,第10题图)

1

若⊙O的半径是4，sinB＝，则线段AC的长为__2__．

4

,第11题图)

11．(导学号 14952397)(2015·包头)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，

三、解答题

12．(2017·遂宁预测)如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D.

(1)求证：AC＝BD；

(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．

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解：(1)作OE⊥AB于E，则有AE＝BE，CE＝DE，∴AC＝BD (2)连接OC，OA，∵OE＝6，∴CE＝OC－OE＝8－6＝27，AE＝OA－OE＝10－6＝8，∴AC＝AE－CE＝8－27

13．(2015·南京)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC＝DE.

(1)求证：∠A＝∠AEB.

(2)连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．

2

2

2

2

2

2

2

2

解：(1)∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠BCD＝180°，∵∠DCE＋∠BCD＝180°，∴∠A＝∠DCE，∵DC＝DE，∴∠DCE＝∠AEB，∴∠A＝∠AEB (2)∵∠A＝∠AEB，∴△ABE是等腰三角形，∵EO⊥CD，∴CF＝DF，∴EO是CD的垂直平分线，∴ED＝EC，∵DC＝DE，∴DC＝DE＝EC，∴△DCE是等边三角形，∴∠AEB＝60°，∴△ABE是等边三角形

14．(导学号 14952398)(2015·永州)如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD.

(1)求证：BE＝CE；

(2)试判断四边形BFCD的形状，并说明理由； (3)若BC＝8，AD＝10，求CD的长．

解：(1)∵AD是直径，∴∠ABD＝∠ACD＝90°，∵AB＝AC，AD＝AD，∴Rt△ABD≌Rt△ACD，∴∠BAD＝∠CAD，∵AB＝AC，∴BE＝CE (2)四边形BFCD是菱形．证明：∵AD是直径，AB＝AC，BE＝EC，∴AD⊥BC，∵CF∥BD，∴∠DBE＝∠FCE，又∵∠BED＝∠CEF＝90°，∴△BED≌△CEF，∴CF＝BD，∴四边形BFCD是平行四边形，∵∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD，∴四边形BFCD是菱形

2

(3)∵AD是直径，AD⊥BC，∴△ACE∽△CDE，∴CE＝DE·AE，设DE＝x，∵BC＝8，AD＝10，∴4＝x(10－x)，解得x＝2或x＝8(舍去)，在Rt△CED中，CD＝CE＋DE＝4＋2＝25

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15．(导学号 14952399)(2017·遂宁预测)如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.

(1)判断△ABC的形状：__等边三角形__；

(2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；

︵

(3)当点P位于AB的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．

解：(2)PA＋PB＝PC.证明：如图1，在PC上截取PD＝PA，连接AD.∵∠APC＝60°，∴△PAD是等边三角形，∴PA＝AD，∠PAD＝60°，又∵∠BAC＝60°，∴∠PAB＝∠DAC.又∵AB︵

＝AC，∴△PAB≌△DAC，∴PB＝DC.∵PD＋DC＝PC，∴PA＋PB＝PC (3)当点P为AB的中点时，四边形APBC面积最大．理由：如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，

︵111

垂足为F，∵S△PAB＝AB·PE，S△ABC＝AB·CF，∴S四边形APBC＝AB(PE＋CF)．当点P为AB的中

222点时，PE＋CF＝PC，PC为⊙O的直径，∴此时四边形APBC面积最大．又∵⊙O的半径为1，1

∴其内接正三角形的边长AB＝3，∴S四边形APBC最大＝×2×3＝3

2

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