第八章、练习题

（2）求椭球面2x2?y2?z2?1的切平面?，使其通过点（0，2，0）和（0，1，1）。

?x?eu?v?u?v11、z?z(x,y)由方程组?y?e确定，求曲面z?z(x,y)对应于u?1,v?0处的切平面。

?z?uv?

x2y2z212、求正常数?，使曲面xyz??与椭球面2?2?2?1相切。

abc

13、f(x,y)在点P0(2,0)指向P1(2,?2)的方向导数是1，指向原点的方向导数是-3，

?f?f,及指向P2(4,1)的方向导数。 求

?x?y

2214、圆柱面x?y?1被平面x?y?z?1截成一椭圆，求原点到此椭圆的最长与最短距离。

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15、u?f(x,y,z),f具二阶连续偏导，z由方程z5?5xy?5z?1所确定，求：

?2z?2u(x,y),|x?1,y?1,z?1. ?x?y?x?y

二、证明以下各题：

1、 已知对任意实数x,y有f(x)g(y)?1,求证f(x),g(y)均为常数。

2、 求证lim

3、 如果对任何实数t,x,y都有f(tx,ty)?tf(x,y)，且f(x,y)有界，求证f(x,y)?0 4、z?e

11?(?)xyxy不存在。

x?0x?yy?0,求证：x2?z?z?y2?2z ?x?y 26

5、z?arctan而x?u?v,y?u?v,验证：

xy?z?zu?v??2。 2?u?vu?v?u?2u?u?2u6、u??(x??(y))，其中?,?二阶可微，求证：。 ??x?x?y?y?x2

7、如果对任意的t都成立f(tx,ty)?tnf(x,y) 称f为n次齐次函数，求证：

(1)x(2)

?f?f?y?nf(x,y),即xf1?(x,y)?yf2?(x,y)?nf(x,y)?x?y f1?(x,y),f2?(x,y)均为n?1次齐次函数。8、u?f(x,y)在整个XOY平面上存在一阶连续的偏导数，且满足方程x?f?f?y?0。（1）?x?y求f在极坐标系下的方程；（2）证明u是θ的函数；（3）、证明f(x,y)为常数。

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9、设x?x(y,z),y?y(x,z),z?z(x,y)都是由方程F(x,y,z)?0所确定的具有连续偏导数

的函数，证明：

?x?y?z??1。

?y?z?x10、求证：曲面F(

x?ay?b,)?0的切平面通过一定点，其中a,b,c为常数，F一阶连续。 z?cz?c11、求证：曲线?:x?t,y?3t,z?6t的切线与某固定向量夹定角。

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