2011年高考数学知识点一本全

①转化等差，等比：an?1?x?P(an?x)?an?1?Pan?Px?x?②选代法：an?Pan?1?r?P(Pan?2?r)?r???an?(a1??Pn?1x?rP?1?.

?(a1?x)Pn?1rP?1)Pn?1rP?1?x

a1?Pn?2?r???Pr?r.

（Pn?1?an?1??1）an?Pa③用特征方程求解：

an?1?Pan?r??相减，?an?1?an?Pan?Paan?Pan?1?r?n?1.

④由选代法推导结果：c1?r1?P，c2?a1?rP?1，an?c2Pn?1?c1?（a1?rP?1）Pn?1?r1?P.

6. 几种常见的数列的思想方法： ?等差数列的前n项和为Sn，在dn?0时，有最大值. 如何确定使Sn取最大值时的

d2d2值，有两种方法：

?0,an?1?0，成立的n一是求使an值；二是由Sn?n2?(a1?)n利用二次函数的

性质求n的值.

?如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数列前n项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：

1?12,314,...(2n?1)12n,...

?两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差d1，d2的最小公倍数.

第七部分 不等式

1. ?平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：

a?b222?a?b2?ab?21a?1b2（当a = b时取等）

特别地，ab?(a?b?c3222a?b2)?22a?b22（当a = b时，(a?b2)?2a?b222?ab）

?a??b?c????(a,b,c?R,a?b?c时取等)3??

2?幂平均不等式：a12?a22?...?an2?1n(a1?a2?...?an)

?含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：

①a3?b3?a2b?ab2

②a3?b3?c3?3abc?(a?b?c)(a2?b2?c2?ab?ac?bc)

— 21 — 高中数学知识点精析

?a?b?c?3abca?b?c313333（a?b?c?0等式即可成立，a?b?c或a?b?c?0时取等）；

3333abc?a?b?c?3a?b?c?abc?????33??

ab?ba?ac?(a??b?c)2（a?b?c时取等）

?绝对值不等式：

a1?a2?a3?a1?a2?a3a?b?a?b?a?b(ab?0时,取等)

a1?a2???ann?算术平均≥几何平均（a1、a2…an为正数）：（a1=a2…=an时取等）

?柯西不等式：设ai,bi?R(i?1,2,?,n),则

?na1a2?an(a1b1?a2b2???anbn)?(a1?a2???an)(b1?b2???bn)

2222222等号成立当且仅当

a1b1?a2b2???anbn时成立.（约定ai?0时，bi?0）

例如：(ac?bd)2?(a2?b2)(c2?d2). ?常用不等式的放缩法：①1?n1n?1?1n(n?1)?1n2?1n(n?1)?1n?1?1n(n?2)

②n?1?n?1n?n?1?12n?1n?n?1?n?n?1(n?1)

2. 常用不等式的解法举例（x为正数）： ①x(1?x)②y?2?122?2x(1?x)(1?x)?221234()?23272

x(1?x)?y?22x(1?x)(1?x)2?123423()??y?23279类似于y?sinxcos2x?sinx(1?sin2x) ③|x?1|?|x|?|1|(x与1同号，故取等)?2

xxx

第八部分 导数

1. 导数（导函数的简称）的定义：设x0是函数y?f(x)定义域的一点，如果自变

— 22 — 高中数学知识点精析

量x在x0处有增量?x，则函数值y也引起相应的增量?y??y?x?f(x0??x)?f(x0)?x?y?x?lim?x?0f(x0??x)?f(x0)；比值

称为函数y?f(x)在点x0到x0??x之间的平均变化率；如果极

f(x)在点x0f(x0)'限

lim?x?0f(x0??x)?f(x0)?x存在，则称函数y?处可导，并把这个或

y|x?x'0极限叫做

f(x0)=lim'y?f(x)在

x0处的导数，记作

.

，即

?y?x?lim?x?0f(x0??x)?f(x0)?x?x?0注：①?x是增量，我们也称为―改变量‖，因为?x可正，可负，但不为零. ②以知函数y?2. 函数y??函数y?f(x)定义域为A，y?f(x)'的定义域为B，则A与B关系为A?B.

f(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系：

f(x)在点x0f(x)在点x0处连续是y?处可导的必要不充分条件.

f(x)点x0可以证明，如果y?事实上，令x?x0于是

x?x0f(x)在点x0处可导，那么y?.

处连续.

??x，则x?x0相当于?x?0limf(x)?limf(x0??x)?lim[f(x?x0)?f(x0)?f(x0)]?x?0?x?0

f(x0)?f(x0)?0?f(x0)?f(x0).'?lim[?x?0f(x0??x)?f(x0)?x??x?f(x0)]?limf(x0??x)?f(x0)?x?lim?lim?x?0?x?0?x?0?如果y?例：

f(x)点x0处连续，那么y?f(x)在点x0?0处可导，是不成立的.

?y?x?|?x|?xf(x)?|x|在点x0?0?y?x?1；当?x处连续，但在点x0?y?x处不可导，因为不存在.

，当?x＞

0时，＜0时，??1，故lim?x?0?y?x注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.

②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义： 函数y?f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y?f(x)在点

f(x)在点(x0,f(x))处的切线

的斜率，也就是说，曲线y?方程为y?y0?f(x)(x?x0).

'P(x0,f(x))处的切线的斜率是f'(x0)，切线

4. 求导数的四则运算法则：

(u?v)?u?v?y?f1(x)?f2(x)?...?fn(x)?y?f1(x)?f2(x)?...?fn(x)'''''''

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(uv)?vu?vu?(cv)?cv?cv?cv''''''''（c为常数）

vu?vu?u?(v?0) ???2vv??''注：①u,v必须是可导函数.

②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导. 例如：设和

f(x)?2sinx?2x，g(x)?cosx?2x，则f(x),g(x)在x?0处均不可导，但它们

f(x)?g(x)?

sinx?cosx在x?0处均可导.

fx(?(x))?f(u)?(x)'''5. 复合函数的求导法则：或y'x?y'u?u'x

复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 6. 函数单调性：

?函数单调性的判定方法：设函数y?y?f(x)为增函数；如果f(x)'f(x)在某个区间内可导，如果f(x)'＞0，则

＜0，则y?f(x)为减函数.

?常数的判定方法； 如果函数y?f(x)在区间I内恒有

f(x)'=0，则y?f(x)为常数.

注：①f(x)?0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y?2x3在(??,??)上并不是都有

f(x)?0，有一个点例外即x=0时f（x） = 0，同样f(x)?0是f（x）

递减的充分非必要条件. ②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 7. 极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有函数

f(x)的极大值，极小值同理） f(x)在点x0f(x)＜f(x0)，则f(x0)是

当函数处连续时，

f(x)''①如果在x0附近的左侧②如果在x0附近的左侧

＞0，右侧＜0，右侧

f(x)''＜0，那么f(x0)是极大值； ＞0，那么f(x0)是极小值.

f(x)'f(x)f(x)也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号，而不是

=0. 此外，

①

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