函数极限的若干方法

0?xn?xn?1?1 且n??时，xn?1

（2）若c为任意的正数。置xn?cyn于（1）的递推公式中，给出yn?1?yn(2?cyn)，假设0?y0?11，则当n??时，yn? cc解：（1）对任意的n, 0?xn?1，而且，因为

xn?1?2?xn?1 xn?推得xn?xn?1，因此，序列?xn?n?1是单调递增且有界，它的极限存在，设为x，从递推公式xn?1?xn(2?xn)中得到

x?x(2?x) 解得x?1，即limxn?1。

n??（2）因为0?y0?112且对任意的n，yn?1?1?(1?cyn)，可以在n上作归纳cc??证明，对任意的n，0?yn?y11?。由n?1?2?cyn?2?c??1知，所以序列?yn?n?1cync1。 c是单调递增的，因而极限存在，借助递推公式yn?1?yn(2?cyn)可求的其极限为

11.利用等价无穷小量代换来求极限

所谓等价无穷小量即limx??f(x)?1称f(x)与g(x)是x?x0时的等价无穷小量，g(x)记作f(x)~g(x).(x?x0).

定理：设函数f(x),g(x),h(x)在u0(x0)内有定义， 且有f(x)~g(x).(x?x0)

1.若limf(x)g(x)?A则limh(x)g(x)?A

x??x?? 5

2.若limx??h(x)h(x)?B则lim?B

x??f(x)g(x)g(x)?limf(x)h(x)?1?A?A f(x)x??证明：①limg(x)h(x)?limx??x??②可类似证明，在此就不在详细证明了！

由该定理就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限

另注：在利用等价无穷小代换求极限时，应该注意：只有对所求极限中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代

x换。如上式中若因有tan~x，(x?0)；sinx?x,(x?0)，而推出的

limtanx?sinxx?x?lim?0则得到的结果是错误的。 33x?0x?0sinxsinx小结:在求解极限的时候要特别注意无穷小等价替换,无穷小等价替换可以很好的

简化解题。

12.利用函数的连续性求极限

例7：求limex?01?cosx2arcsinx2的极限

解：由于lim1?cosx1?cosx114?u?及函数在处连续，故 ??fu?ex?02arcsinx244

2x?02arcsinx2lime2arcsinx?ex?0lim1?cosx?e

1413.利用泰勒公式求极限

由于泰勒公式的特殊形式，对于求解某些函数的极限有简化求解过程的作用。 例13：求

x2?2x2?2 limcosx?ex?0x4cosx?ex?0x4(n?4)limx4??0(x5)1x2x412?lim??1???0(x5) 4x?0x12224 6

解：本题可用洛比达法则来求解，但是运算过程比较繁琐，在这里可用泰勒公式求解，考虑到极限式的分母为x，我们用麦克劳林公式表示极限的分子，取(n?4)

4x2x4cosx?1???0(x5)

224e?x22x2x4?1???0(x5)

212?x22cosx?ex4???0(x5)

12?x22因而求得limcosx?ex?0x4x4??0(x5)1?lim124?? x?0x1214.利用两个准则求极限

(1)函数极限的迫敛性（夹逼法则）：若一正整数N,当n?N时，有xn?yn?zn且

limxn?limzn?a则有limyn?a

x??x??x??例:14 xn?1n?12?1n?12?......?1n?n2

求xn的极限

解：因为xn单调递减，所以存在最大项和最小项 xn?1n?112?1n?1?12?......?1n?112?nn?n?n2

xn?nn?n2n?1?xn?n2n?11 2?......?n?12n?n2

则n?12 又因为

limx??n?n2?limx??nn?12?1

7

limyn2?lim(yn?1?a)l2?l?ayn?0x??x??1?4a?1limyn?l?x??2

（2）：单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。

利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。

15.利用级数收敛的必要条件求极限

利用级数收敛的必要条件：若级数

??n?1?n收敛，则?n?0?n???运用这个方法

首先判定级数

??n?1?n收敛，然后求出它的通项的极限

例：16 求limnnx???n!?2

解：设an?nn?n!?2

n?12?n?1???n!? a 则limn?1?lim2n??an??nnn?1!??n????1?1? ?lim??1??

n??n?1?n? ?0?1 由比值判别法知

n?an?1?n收敛，由必要条件知limnnn???n!?2?0

16.利用单侧极限求极限

形如：

1） 求含a的函数x趋向无穷的极限，或求含a的函数x趋于0的极限;

8

x1x2）求含取整函数的函数极限; 3）分段函数在分段点处的极限;

4）含偶次方根的函数以及arctanx或arcctanx的函数，x趋向无穷的极限. 这种方法还能使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左，右极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。

?例：17 f(x)???xsin1,x?0?x ?1?x2,x?0求f(x)在x?0的左右极限

解：limx?sin1n?0x?1

nlim?0?x?sin1x?1 nlim?0?f(x)?nlim?0?f(x)?1 limx?0f(x)?1

9