[孟]求矩阵特征值与特征向量 乘幂和逆乘幂 注释版[孟]

第6章 求矩阵特征值与特征向量

第16讲 乘幂法和逆幂法

一、 乘幂法的基本思想

乘幂法是求实方阵A按模最大特征值及相应的特征向量的一种迭代方法。它的基本思想是，先任取非零初始向量 列

再根据

增大时，

，然后作迭代序

各分量的变化规律，求出

方阵A 的按模最大的特征值及相应的特征向量。 先看一个实例 例1. 设矩阵

的两个特征值为

用特征方程容易求得

计算向量序 ，

下面我们用乘幂法来计算，任取初始向量 列

具体计算列表如下：

考虑两个相邻向量相应分量之比：

由上面计算看出，两个相邻向量相应分量之比值， 随着 的增大而趋向于一个固定值，并且此值恰好就是方阵A 的按模最大的特征值。 二、乘幂法的计算公式

设矩阵A的n个特征值按模的大小排列为： │λ1│≥│λ2│≥…≥│λn│ 其相应的特征向量为 e1, e2,…, en

且它们是线性无关的。

先任取非零初始向量

，作迭代序列

首先将 表示为

所以

为了得出计算

和

的公式，下面分三种情况讨论

1. λ1为实根，且│λ1│>│λ2│。 当a1不为0，k充分大时，则有

所以

（6.2）

2．

为 实根，且λ1=-λ2，│λ2│>│λ3│。

当a1 ，a2不为0，k充分大时，则有

于是得

从而有

（6.3）

（3）λ1=u+iv, λ2=u-iv,且│λ2│>│λ3│。当k充分大时，则有

（推导过程参见教材164-165）

在实际应用幂法时，可根据迭代向量各分量的变化情况判断属于那种情况。

若迭代向量各分量单调变化，且有关系式Xk+1=cXk，则属于第1种情况；