浙江专版2018年高中数学复习课一解三角形学案新人教A版

复习课(一) 解三角形

利用正、余弦定理解三角形 对于解三角形的考查，命题多利用正、余弦定理，三角形内角和定理来求边和角，其中以求边或角的取值范围为主，以解三角形与三角函数的结合为命题热点，试题多以大题的形式出现，难度中等．

[考点精要]

解三角形的常见类型及方法

(1)已知三边：先由余弦定理求出两个角，再由A＋B＋C＝π，求第三个角．

(2)已知两边及其中一边的对角：先用正弦定理求出另一边的对角，再由A＋B＋C＝π，求第三个角，最后利用正弦定理或余弦定理求第三边．

(3)已知两边及夹角：先用余弦定理求出第三边，然后再利用正弦定理或余弦定理求另两角．

(4)已知两角及一边：先利用内角和求出第三个角，再利用正弦定理求另两边． [典例] 设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a＝2bsin A. (1)求B的大小；

(2)若a＝33，c＝5，求b. [解] (1)由a＝2bsin A，

1

根据正弦定理得sin A＝2sin Bsin A，所以sin B＝，

2π

由于△ABC是锐角三角形，所以B＝.

6(2)根据余弦定理，得

b2＝a2＋c2－2accos B＝27＋25－45＝7，

所以b＝7. [类题通法]

利用正、余弦定理来研究三角形问题时，一般要综合应用三角形的性质及三角函数关系式，正弦定理可以用来将边的比和对应角正弦值的比互化，而余弦定理多用来将余弦值转化为边的关系．

[题组训练]

1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a－b＝3bc，sin C＝23sin

2

2

B，则A＝( )

A．30° C．120°

B．60° D．150°

b2＋c2－a2－3bc＋c2

解析：选A 由正弦定理可知c＝23b，则cos A＝＝＝

2bc2bc－3bc＋23bc3

＝，所以A＝30°，故选A.

2bc2

π

2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝，a＝1，b＝3，则B6＝________.

133

解析：依题意得，由正弦定理知：＝，sin B＝，又0a，可得

πsin B2sin

6

B＝或

π2π

.

33π2π答案：或

33

3．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.

(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)； (2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值． 解：(1)证明：∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b. 由正弦定理得sin A＋sin C＝2sin B. ∵sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)， ∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C)． (2)∵a，b，c成等比数列，∴b＝ac. 由余弦定理得

2

a2＋c2－b2a2＋c2－ac2ac－ac1

cos B＝＝≥＝，

2ac2ac2ac2

当且仅当a＝c时等号成立． 1

∴cos B的最小值为.

2

三角形形状的判定

判断三角形的形状是一种常见的题型，就是利用条件寻找边的关系或角的关系，题型多为选择题、解答题，难度中等．

[考点精要] 三角形中的常用结论

(1)A＋B＝π－C，

A＋BπC2＝2

－. 2

(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．

(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

[典例] 在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A，B，C的对边，如果(a＋b)sin(A－B)＝(a－b)·sin(A＋B)，试判断该三角形的形状．

[解] ∵(a＋b)sin(A－B)＝(a－b)·sin(A＋B)，

∴a[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2acos Asin B＝2bsin

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Acos B.

由正弦定理得2sinAcos Asin B＝2sinBsin Acos B， 即sin 2A·sin Asin B＝sin 2B·sin Asin B.

π∵0

2∴△ABC是等腰三角形或直角三角形． [类题通法]

根据所给条件判断三角形的形状的途径

(1)化边为角．

(2)化角为边，转化的手段主要有： ①通过正弦定理实现边角转化； ②通过余弦定理实现边角转化； ③通过三角变换找出角之间的关系；

④通过对三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性来确定三角形的形状．

[题组训练]

1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为( )

A．等腰三角形 C．等腰直角三角形

B．直角三角形 D．等腰或直角三角形

2

2

解析：选D ∵c－acos B＝(2a－b)cos A，C＝π－(A＋B)，∴由正弦定理得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，∴sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B＝2sin Acos

A－sin Bcos A，∴cos A(sin B－sin A)＝0，∴cos A＝0或sin B＝sin A，∴A＝或B＝A或B＝π－A(舍去)．故△ABC为直角三角形或等腰三角形．

2．在△ABC中，已知3b＝23asin B，且A，B，C成等差数列，则△ABC的形状为( ) A．直角三角形 C．等边三角形

B．等腰三角形 D．等腰直角三角形

π

2

π

解析：选C ∵A，B，C成等差数列，∴A＋C＝2B，即3B＝π，解得B＝.∵3b＝23

3

asin B，∴根据正弦定理得3sin B＝23sin Asin B．∵sin B≠0，∴3＝23sin A，即

sin A＝

3π2π2πππ

，即A＝或，当A＝时，A＋B＝π不满足条件．∴A＝，C＝.故A＝233333

B＝C，即△ABC的形状为等边三角形．

3A??3A3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝?cos，sin?，n22??

AA??cos，sin＝??，且满足|m＋n|＝3.

2??2

(1)求角A的大小；

(2)若b＋c＝3a，试判断△ABC的形状．

解：(1)因为|m＋n|＝3，所以|m＋n|＝3，即m＋n＋2m·n＝3.又因为m＝n＝1，13AA3AA11

所以m·n＝，所以coscos＋sinsin＝，所以cos A＝，

2222222

π

又0

3

3

(2)因为b＋c＝3a，所以sin B＋sin C＝3sin A＝.

2所以sin B＋sin?

2

2

2

2

2

?2π－B?＝3，

?2

?3?

3?π?化简得sin?B＋?＝. 6?2?2ππ5π

因为0

366ππ2π

所以B＋＝或，

633

ππππ

所以B＝，C＝或B＝，C＝，所以△ABC为直角三角形．

6226

正、余弦定理的实际应用 正、余弦定理在实际中的应用是高考中的热点，主要考查距离、高度、角度等问题，试题以解答题为主，难度一般．

[考点精要]

(1)仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的． (2)利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置． [典例] 如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2