1.2.2同角三角函数的基本关系1（教学设计）

1.2任意角的三角函数

1.2.2同角三角函数的基本关系1(教学设计)

一、教学目标：

1、知识与技能

(1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系；(2)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；(3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式；(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；（5）牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；（6）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；（7）掌握恒等式证明的一般方法.

2、过程与方法

由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习已知一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；利用同角三角函数关系式化简三角函数式；利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.

3、情态与价值

通过本节的学习，牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法. 二、教学重、难点

重点：公式sin??cos??1及

22sin??tan?的推导及运用：（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一cos?个，求其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式.

难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式. 三、学法与教学用具

利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式: sin??cos??1及

22sin??tan?,并灵活应用求cos?三角函数值,化简三角函数式,证明三角恒等式等.

教学用具:圆规、三角板 四、教学设想

【创设情境】

与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．

【探究新知】

1. 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一下同一个角不同三角函数

之间的关系吗?

如图:以正弦线MP,余弦线OM和半径OP三者的长构成直角三角形,而且OP?1.由勾股定理由

MP2?OM2?1,因此x2?y2?1,即sin2??cos2??1.

则：sin?=?1?cos2? cos????1s2i?n

sin??tan?. cos?（根据角?所在的象限取“+或-”号，若都不知角?在哪象限要分类讨论） 根据三角函数的定义,当a?k???2(k?Z)时,有

这就是说,同一个角?的正弦、余弦的平方等于1，商等于角?的正切. [例题选讲]

例1(课本P19例6)已知sin???3,求cos?,tan?,的值. 5分析：sin?,cos?,tan?三者知一求二,熟练掌握. 变式训练1：已知cos?=

5，求sin?，tan?的值。 121

课堂练习1：（课本P20练习NO：1；2；3）

例2(课本P19例7).求证:

cosx1?sinx?.

1?sinxcosx通过本例题,总结证明一个三角恒等式的方法步骤. 证明三角恒等式经常使用的方法： 1）从等式左边变形到右边；

2）从恒等式出发，转化到所要证明的等式上； 3）左边减去右边等于0；

4）左边除以右边等于1(保证分母不为零).

变式训练2：（课本P69复习参考题NO：7（2））求证：sin2??sin2??sin2?sin2??cos2?cos2??1

课堂练习2（课本P20练习NO：4，5）

例3：化简：1?sin24400（答：cos800）

变式训练3：已知cos?=?8，求sin?和tan?的值。 17分析：因为cos?<0，所以?是第二象限的角或者是第三象限的角。然后分这两种情况计算其他5个三角函数的值。 解：（1）如果?是第二象限的角，可得： sin?=1?cos2?=1?(?sin?158215=? )=， tan?=

cos?178171515，tan?=

817（2）如果?是第三象限的角，可得：sin?= -（这5个值由学生口答）

m2?1例4：(tb0127302)已知sin?=2 (m>1)，求cos?与tan?的值。

m?12mm2?1（答：分别对?属于第一象限或第二象限讨论；当为第一象限时，得cos?=2，tan?=；当为第二

m?12m2mm2?1象限时，得cos?= -2，tan?=-）

m?12m

变式训练4：（课本P20习题1.2 B组 NO：1）化简：(1?tan分析：化简思想：化弦的数学思想，即：切化弦

2

2?)cos2?

[课堂小结、巩固反思]

（1）同角三角函数的关系式的前提是“同角”，因此sin2??cos2??1，tan??sin?． cos?（2）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论． [课时必记]

1、同角三角函数的基本关系：sin??cos??1； sin?=?221?cos2?（根据角?所在的象限取“+或-”号，若都不知角?在哪象限要分类讨论）

cos???1?sin2?（根据角?所在的象限取“+或-”号，若都不知角?在哪象限要分类讨论）

2、同角三角函数的基本关系：tan??sin?sin? 则：sin??tan?cos? cos?? cos?tan? 3、化简思想：化弦的数学思想，即切化弦。而且要注意三角函数在各象限的符号。

4、

[分层作业] A组: 1、（课本P20习题1.2 A组NO：10） 2、（课本P20习题1.2 A组NO：11） 3、（课本P20习题1.2 A组NO：13）

B组： 1、（课本P20习题1.2 B组NO：2）

2、 若sin?sin2??cos?cos2???1，(??k?,k?Z)，则?所在的象限是（ ）。 2（A） 第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

3

C组：

1、 设?是第三象限角，且|cos

?2|??cos?2，则

?所在象限是（ ）。 2（A） 第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

2、已知角?的终边上一点P(?3,m)，且sin??2m，求cos?的值. 4解：由题设知x??3，y?m，所以r2?|OP|2?(?3)2?m2， 得r?3?m2， 从而sin??2mmm2，解得m?0或16?6?2m?m??5． ??4r3?m2x??1; r（1）当m?0时，r?3,x??3， cos??（2）当m?5时，r?22,x??3，cos??x6; ??r4x6. ??r4（3）当m??5时，r?22,x??3，cos??

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