2015届高考数学（二轮复习）专题检测：坐标系与参数方程

45 坐标系与参数方程

1．在极坐标系中，曲线C1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，求a的值．

解 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，

即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x＋y－1＝0， ρ＝a(a>0)对应的普通方程为x＋y＝a.

2

在2x＋y－1＝0中，令y＝0，得x＝.

2将?

2?2?222

，0?代入x＋y＝a得a＝. 2?2?

2

2

2

2．(2014·安徽改编)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标

??x＝t＋1，

系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是?(t为参数)，

?y＝t－3?

圆C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l被圆C截得的弦长．

??x＝t＋1，

解 直线l的参数方程?(t为参数)化为直角坐标方程是y＝x－4，圆C的极坐

?y＝t－3?

标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x＋y－4x＝0.圆C的圆心(2,0)到直线x－y－4222＝0的距离为d＝＝2.又圆C的半径r＝2，因此直线l被圆C截得的弦长为2r－d＝

222.

3．(2014·福建)已知直线l??x＝4cos θ，?

?y＝4sin θ?

??x＝a－2t，

的参数方程为?

?y＝－4t?

22

(t为参数)，圆C的参数方程为

(θ为参数)．

(1)求直线l和圆C的普通方程；

(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围． 解 (1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0， 圆C的普通方程为x＋y＝16.

(2)因为直线l与圆C有公共点，

|－2a|

故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，

5解得－25≤a≤25.

2

2

1

??x＝2cos t，

4．(2013·课标全国Ⅱ)已知动点P、Q都在曲线C：?

?y＝2sin t?

(t为参数)上，对应参

数分别为t＝α与t＝2α(0<α<2π)，M为PQ的中点． (1)求M的轨迹的参数方程；

(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点． 解 (1)依题意有P(2cos α，2sin α)，

Q(2cos 2α，2sin 2α)，

因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．

M的轨迹的参数方程为

??x＝cos α＋cos 2α，

?

?y＝sin α＋sin 2α，?

(α为参数，0<α<2π)．

(2)M点到坐标原点的距离

d＝x2＋y2＝2＋2cos α(0<α<2π)．

当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．

3

x＝－t＋2，??5

5．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2sin θ，设直线l的参数方程是?4

y＝??5t(t为参数)．

(1)将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；

(2)直线l与x轴的交点是M，N为曲线C上一动点，求MN的最大值． 解 (1)曲线C的极坐标方程可化为ρ＝2ρsin θ， 又x＋y＝ρ，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 所以，曲线C的直角坐标方程为x＋y－2y＝0. (2)将直线l的参数方程化为直角坐标方程，

4

得y＝－(x－2)，

3令y＝0，得x＝2，即M点的坐标为(2,0)． 又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为(0,1)， 半径r＝1，则MC＝5. ∴MN≤MC＋r＝5＋1， 即MN的最大值为5＋1.

2

2

2

2

2

2

2

6．(2013·辽宁)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆

π??C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos?θ－?＝22. 4??(1)求C1与C2交点的极坐标；

x＝t＋a，??

(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为?b3

y＝t＋1??2

(t∈R为参数)，求a，b的值．

解 (1)圆C1的直角坐标方程为x＋(y－2)＝4， 直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.

?x＋(y－2)＝4，?

解???x＋y－4＝0，

2

2

2

2

3

得?

?x1＝0，?

??y1＝4，

?x2＝2，?

???y2＝2.

π??π??所以C1与C2交点的极坐标为?4，?，?22，?， 2??4??注：极坐标系下点的表示不唯一．

(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0， 由参数方程可得y＝x－＋1，

22

babb??2＝1，所以?ab－??2＋1＝2，

2

解得a＝－1，b＝2.

7．(2014·辽宁)将圆x＋y＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.

(1)写出C的参数方程；

(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．

??x＝x1，解 (1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得?

?y＝2y1.?

2

由x21＋y1＝1得x＋()＝1，

2即曲线C的方程为x＋＝1.

4

??x＝cos t，

故C的参数方程为?

?y＝2sin t?

2

22

y2

y2

(t为参数)．

3

2

y??x2＋＝1，4(2)由???2x＋y－2＝0，

??x＝1，

解得?

?y＝0?

??x＝0，

或?

?y＝2.?

11

不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为(，1)，所求直线斜率为k＝，

22

11

于是所求直线方程为y－1＝(x－)，

22化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，

3

即ρ＝.

4sin θ－2cos θ

??x＝t，

8．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?

?y＝1＋kt?

(t为参数)，以O为原点，Ox轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsinθ＝4cos θ，

(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； (2)若直线l和曲线C相切，求实数k的值．

??x＝t解 (1)由?

?y＝1＋kt?

2

2

，

得直线l的普通方程为y＝kx＋1，

由ρsinθ＝4cos θ得ρsinθ＝4ρcos θ，y＝4x，曲线C的直角坐标方程为y＝4x. (2)把y＝kx＋1代入y＝4x， 得kx＋(2k－4)x＋1＝0，

当直线l与曲线C相切时，由Δ＝(2k－4)－4k＝0， 得k＝1.

经检验k＝1适合题意，∴所求实数k＝1.

9．(2014·课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立

π

极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈[0，]．

2(1)求C的参数方程；

(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝3x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．

解 (1)C的普通方程为(x－1)＋y＝1(0≤y≤1)．

?x＝1＋cos t，?

可得C的参数方程为?(t为参数，0≤t≤π)．

?y＝sin t?

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

(2)设D(1＋cos t，sin t)，由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆，因为C在

4