12--第十二章 复 数

十年高考分类解析与应试策略数学

第十二章 复 数

●考点阐释

复数的概念是复数理论的基础，在解题活动中它经常是思维的突破口；围绕复数的代数形式和三角形式给出的两类运算，体现了复数知识的广泛联系性和普遍渗透性，这两种形式及其运算也为我们处理复数问题提供了代数思考方法和三角思考方法；复数概念及其运算的几何意义，为我们从几何上处理复数问题或几何问题复数化提供了广阔的空间.正确地进行复数各种形式间的转换，选准复数的表示形式是灵活运用复数知识处理复数与三角、复数与几何、复数与方程综合题的关键.

●试题类编

※

1.（2003京春文7，理3）设复数z1=－1+i，z2=

12?32i，则arg

z1z2等于（ ）

A.－

512π B.

512π C.

712π D.

1312π

2.（2003上海春，14）复数z=可能位于（ ）

A.第一象限

※

m?2i1?2i（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不

B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.（2002京皖春，4）如果θ∈（

?2，π），那么复数（1＋i）（cosθ＋isinθ）的辐角

的主值是（ ）

A.θ＋

9?4 B.θ＋

?4?

C.θ??4 D.θ＋

7?4

4．（2002全国，2）复数（A. －i

1232i）3的值是（ ）

C.－1

D.1

B.i

5.（2002上海，13）如图12—1，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是

（ ）

图12—1

※

6.（2001全国文，5）已知复数ｚ＝2?6i，则arg

1z是（ ）

A.

?6 B.

11?6 C.

?3 D.

5?3

※

7.（2000京皖春文，11）设复数z1＝－1－i在复平面上对应向量OZ1，将OZ1按顺

时针方向旋转（ ）

A.2－

56π后得到向量OZ2，令OZ2对应的复数z2的辐角主值为θ，则tanθ等于

3

B.－2＋3

C.2＋3

※

D.－2－3

8.（2000全国，2）在复平面内，把复数3－3i对应的向量按顺时针方向旋转

?3，

所得向量对应的复数是（ ）

A.2C.

※

3

B.－23i

3－3i D.3+3i

9.（2000上海理，13）复数z＝?3(cos?5?isin?5)（i是虚数单位）的三角形式是

（ ）

A.3［cos（??5）＋isin（??5）］ B.3（cos

?5＋isin

?5）

C.3（cos

4?5＋isin

4?5） D.3（cos

6?5＋isin

6?5）

10.（2000京皖春，1）复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z12z2在复平面内的对应点位于

（ ）

A.第一象限

B.第二象限 D.第四象限

C.第三象限

11.（2000京皖春理，11）设复数z1＝2sinθ＋icosθ（

?4＜θ＜

?2)在复平面上对应

向量OZ1，将OZ1按顺时针方向旋转

34π后得到向量OZ2，OZ2对应的复数为z2＝

r（cos?＋isin?），则tan?等于（ ）

A.

2tan?2tan??112tan??1 B.

2tan??12tan??112tan??1

C.

※

D.

12.（1998全国，8）复数－i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（ ）

A.

32?12i B.?3232?1212i

C.±

32?12i

45D.±?i

13.（1996全国，4）复数

(2?2i)(1?

等于（ ）

3i)

A.1+3i

B.－1+3i

C.1－3i D.－1－3i

14.（1994上海，16）设复数z=－的正整数n中最小的是（ ）

12?32i（i为虚数单位），则满足等式zn=z且大于1

A.3 B.4 C.6 D.7

15.（1994全国，9）如果复数z满足|z+i|+|z－i|=2，那么|z+i+1|的最小值是（ ） A.1 二、填空题

16.（2003上海春，6）已知z为复数，则z+z＞2的一个充要条件是z满足 . 17.（2002京皖春，16）对于任意两个复数z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i（x1、y1、x2、y2为实数），定义运算“⊙”为：z1⊙z2＝x1x2＋y1y2．设非零复数w1、w2在复平面内对应的点分别为P1、P2，点O为坐标原点．如果w1⊙w2＝0，那么在△P1OP2中，∠P1OP2的大小为 ．

18.（2002上海，1）若z∈C，且（3＋z）i＝1（i为虚数单位），则z＝ ． 19.（2001上海春，2）若复数z满足方程zi=i－1（i是虚数单位），则z=_____. 20.（1997上海理，9）已知a=

B.

2 C.2 D.5

?3?i1?2i（i是虚数单位），那么a4=_____.

21.（1995上海，20）复数z满足（1+2i）z=4+3i，那么z=_____.

三、解答题

22.（2002上海春，17）已知z、w为复数，（1＋3i）z为纯虚数，w＝求w．

23.（2002江苏，17）已知复数z＝1＋i，求实数a，b使az＋2bz＝（a＋2z）2． 24.（2001京皖春，18）已知z7＝1（z∈C且z≠1）.

23456

（Ⅰ）证明1＋z＋z＋z＋z＋z＋z＝0；

（Ⅱ）设z的辐角为α，求cosα＋cos2α＋cos4α的值.

※

z2?i，且|w|＝52，

25.（2001全国理，18）已知复数z1＝i（1－i）.

3

（Ⅰ）求argz1及|z1|；

（Ⅱ）当复数z满足|z|＝1，求|z－z1|的最大值.

26.（2001上海理，20）对任意一个非零复数z，定义集合Mz＝｛w|w＝z2n－1，n∈N｝． （Ⅰ）设α是方程x＋

1x?2的一个根，试用列举法表示集合Mα；

（Ⅱ）设复数ω∈Mz，求证：Mω?Mz．

27.（2001上海文，20）对任意一个非零复数z，定义集合Mz＝｛w|w＝z，n∈N｝． （Ⅰ）设z是方程x+

n

1x=0的一个根，试用列举法表示集合Mz．若在Mz中任取两个数，

求其和为零的概率P；

（Ⅱ）若集合Mz中只有3个元素，试写出满足条件的一个z值，并说明理由．

28.（2000上海春，18）设复数z满足|z|＝5，且（3＋4i）z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，|

2z－m|＝52（m∈R），求z和m的值.

29.（2000上海理，22）已知复数z0＝1－mi（M＞0），z＝x＋yi和ω＝x′＋y′i，其中x，y，x′，y′均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有ω＝z02z，|ω|＝2|z|．

（Ⅰ）试求m的值，并分别写出x′和y′用x、y表示的关系式；

（Ⅱ）将（x，y）作为点P的坐标，（x′，y′）作为点Q的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q.

当点P在直线y=x+1上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程； （Ⅲ）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由.

※

30.（1999全国理，20）设复数z＝3cosθ＋i22sinθ.求函数y＝θ－argz（0＜θ＜

?2）

的最大值以及对应的θ值.

※

31.（1999上海理，19）已知方程x＋（4＋i）x＋4＋ai＝0（a∈R）有实数根b，且

2

z=a+bi，求复数z（1－ci）（c＞0）的辐角主值的取值范围.

※

32.（1999上海文，19）设复数z满足4z+2z=33+i，ω=sinθ－icosθ（θ∈R）.