江苏省苏州市中考数学专题训练(五)圆的有关计算、证明与探究

2017中考数学专题训练(五)圆的有关计算、证明与探究

圆的有关计算与证明是遵义中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要注意已知条件之间的相互联系．

类型1 与圆的有关性质

【例1】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠C. (1)求证：CB∥PD；

3

(2)若BC＝3，sinP＝，求⊙O的直径．

5

【解析】(1)通过圆周角转换找出一组内错角相等；(2)通过连接直径所对圆周角构造直角三角形，利用三角函数解决直径问题．

【学生解答】解：(1)∵∠C＝∠P，∠1＝∠C，∴∠1＝∠P，∴CB∥PD；(2)连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB︵︵3BC3

＝90°.又∵CD⊥AB，∴BD＝BC.∴∠P＝∠CAB.∴sin∠CAB＝sinP＝，即＝.又∵BC＝3，∴AB＝5.∴⊙O的直

5AB5径为5.

针对练习

︵

1．如图，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是AB的中点． (1)求证：AB平分∠OAC；

(2)延长OA至P使得OA＝AP，连接PC，若⊙O的半径R＝1，求PC的长．

︵

解：(1)连接OC，∵∠AOB＝120°，C是AB的中点，∴∠AOC＝∠BOC＝60°.∵OA＝OC，∴△ACO是等边三角形，︵

∴OA＝AC.同理OB＝BC.∴OA＝AC＝BC＝OB.∴四边形AOBC是菱形．∴AB平分∠OAC；(2)∵C为AB中点，∠AOB＝120°，∴∠AOC＝60°.∵OA＝OC，∴△OAC是等边三角形．∴OA＝AC，∵OA＝AP，∴AP＝AC.∴∠APC＝30°.∴△OPC是直角三角形，PC＝3OC＝3.

类型2 圆的切线的性质与判定

1

【例2】如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD＝CB，延长CD交BA的延长线于点

E.

(1)求证：CD为⊙O的切线；

(2)若BD的弦心距OF＝1，∠ABD＝30°，求图中阴影部分的面积．(结果保留π)

【解析】(1)证∠ODC＝∠ABC＝90°；(2)在Rt△OBF中，∠ABD＝30°，OF＝1，可求得BD的长，∠BOD的度数，又由S阴影＝S扇形OBD－S△BOD，即可求解．

【学生解答】解：(1)连接OD，∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°.∵CD＝CB，∴∠CBD＝∠CDB.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB.∴∠ODC＝∠ABC＝90°，即OD⊥CD.∵点D在⊙O上，∴CD为⊙O的切线；(2)在Rt△OBF中，∵∠ABD＝30°，OF＝1，∴∠BOF＝60°，OB＝2，BF＝3.∵OF⊥BD，∴BD＝2BF＝23，∠BOD＝2∠BOF＝120°.∴S120π×214＝S扇形OBD－S△BOD＝－×23×1＝π－3.

36023

针对练习

2．(2016南充中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点O，OC＝1，以点O为圆心

2

阴影

OC为半径作半圆．

(1)求证：AB为⊙O的切线；

1

(2)如果tan∠CAO＝，求cosB的值．

3

解：(1)如图，作OM⊥AB于M，∵OA平分∠CAB，OC⊥AC，OM⊥AB，∴OC＝OM，∴AB是⊙O的切线；(2)设BMBMBCxy＋12222

＝x，OB＝y，则y－x＝1 ①，∵cosB＝＝，∴＝，∴x＋3x＝y＋y ②，由①②可以得到：y＝3x－1，

OBAByx＋335x322

∴(3x－1)－x＝1，∴x＝，y＝，∴cosB＝＝.

44y5

3．(2016常德中考)如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD＝BC，延长AD到E，且有∠EBD＝∠CAB.

(1)求证：BE是⊙O的切线；

(2)若BC＝3，AC＝5，求圆的直径AD及切线BE的长．

2

解：(1)如图， 连接OB，∵BD＝BC，∴∠CAB＝∠BAD，∵∠EBD＝∠CAB，∴∠BAD＝∠EBD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，OA＝BO，∴∠BAD＝∠ABO，∴∠EBD＝∠ABO，∴∠OBE＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABO＋∠OBD＝∠ABD＝90°，∵点B在⊙O上，∴BE是⊙O的切线；(2)如图，设圆的半径为R，连接CD，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD15

＝90°，∵BC＝BD，∴OB⊥CD，∴OB∥AC，∵OA＝OD，∴OF＝AC＝，∵四边形ACBD是圆内接四边形，∴∠BDE22DBDE3DE3

＝∠ACB，∵∠DBE＝∠CAB，∴△DBE∽△CAB，∴＝，∴＝，∴DE＝，∵∠OBE＝∠OFD＝90°，∴DF∥BE，

ACBC5535

2OFODR

∴＝，∴＝，∵R>0，∴R＝3，∵BE是⊙O的切线，∴BE＝DE×AE＝OBOER3

R＋

5

4．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD. (1)求证：AD平分∠BAC；

(2)若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积．(结果保留π)

3?3113?

×?2×3＋?＝.

5?5?5

解：(1)∵⊙O切BC于点D，∴OD⊥BC，∵AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠OAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC；(2)设EO与AD交于点M，连接ED.∵∠BAC＝60°，OA＝OE，∴△AEO是等边三角形，∴AE＝OA，∠AOE＝60°，∴AE＝AO＝OD，又由(1)知，AC∥OD即AE∥OD，∴四边形AEDO是菱形，则60π×22π△AEM≌△DOM，∠EOD＝60°，∴S△AEM＝S△DMO，∴S阴影＝S扇形EOD＝＝.

3603

类型3 圆与相似及三角函数综合

2

【例3】如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E，连接AD.

(1)求证：△CDE∽△CAD；

(2)若AB＝2，AC＝22，求AE的长．

3

【解析】(1)利用圆的知识证角相等得出相似；(2)利用勾股定理及相似知识解决线段长度的计算．

【学生解答】解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°.又∵AC是⊙O的切线，∴AB⊥AC，即∠BAC＝90°，∴∠CAD＋∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠CAD.∵∠ABD＝∠BDO＝∠CDE，∴∠CAD＝∠CDE.又∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD；(2)在Rt△OAC中，∠OAC＝90°，∴OA＋AC＝OC，即1＋(22)＝OC，∴OC＝3，CDCA222

∴CD＝2.又由△CDE∽△CAD，得＝，即＝，∴CE＝2.∴AE＝AC－CE＝22－2＝2.

CECDCE2

针对练习

CF1

5．如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足＝，连接AF并延长交⊙O于点E，

FD3连接AD，DE，若CF＝2，AF＝3.

(1)求证：△ADF∽△AED； (2)求FG的长； (3)求证：tanE＝

5. 4

2

2

2

2

2

2

︵︵

解：(1)∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴DG＝CG，∴AD＝AC，∴∠ADF＝∠AED，∵∠FAD＝∠DAE(公共角)，CF1

∴△ADF∽△AED；(2)∵＝，CF＝2，∴FD＝6，∴CD＝DF＋CF＝8，∴CG＝DG＝4，∴FG＝CG－CF＝2；(3)∵AFFD3AG522

＝3，FG＝2，∴AG＝AF－FG＝5，∴tanE＝tan∠ADG＝＝. DG4

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