卓顶最新2019新课标全国1卷(理数)

则?=（0，2）?（3，4）=8．

故选：D．

9．（5分）（2018?新课标Ⅰ）已知函数f（x）=2个零点，则a的取值范围是（ ）

A．[﹣1，0） B．[0，+∞） C．[﹣1，+∞）

D．[1，+∞）

，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在

【分析】由g（x）=0得f（x）=﹣x﹣a，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可．

【解答】解：由g（x）=0得f（x）=﹣x﹣a， 作出函数f（x）和y=﹣x﹣a的图象如图：

当直线y=﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点， 即函数g（x）存在2个零点， 故实数a的取值范围是[﹣1，+∞）， 故选：C．

10．（5分）（2018?新课标Ⅰ）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（ ）

A．p1=p2

B．p1=p3

C．p2=p3

D．p1=p2+p3

【分析】如图：设BC=2r1，AB=2r2，AC=2r3，分别求出Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ所对应的面积，即可得到答案． 【解答】解：如图：设BC=2r1，AB=2r2，AC=2r3， ∴r12=r22+r32，

∴SⅠ=×4r2r3=2r2r3，SⅢ=×πr12﹣2r2r3，

9 20页） 第页（共

SⅡ=×πr3+×πr2﹣SⅢ=×πr3+×πr2﹣×πr1+2r2r3=2r2r3， ∴SⅠ=SⅡ， ∴P1=P2， 故选：A．

11．（5分）（2018?新课标Ⅰ）已知双曲线C：

﹣y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F

22222

的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|=（ ） A． B．3

C．2

D．4

【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出直线方程，求出MN的坐标，然后求解|MN|． 【解答】解：双曲线C：过F（2，0）的直线为：y=则：

解得M（，解得：N（

则|MN|=故选：B．

12．（5分）（2018?新课标Ⅰ）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ） A．

B．

C．

D．

）， =3．

﹣y2=1的渐近线方程为：y=

， ），

，渐近线的夹角为：60°，不妨设

【分析】利用正方体棱的关系，判断平面α所成的角都相等的位置，然后求解α截此正方体所得截面面积的最大值．

【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，α截此正方体所得截面面积的最大， 此时正六边形的边长

，

=

．

α截此正方体所得截面最大值为：6×故选：A．

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．（5分）（2018?新课标Ⅰ）若x，y满足约束条件

，则z=3x+2y的最大值为 6 ．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由z=3x+2y得y=﹣x+z， 平移直线y=﹣x+z，

由图象知当直线y=﹣x+z经过点A（2，0）时，直线的截距最大，此时z最大， 最大值为z=3×2=6， 故答案为：6

14．（5分）（2018?新课标Ⅰ）记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn=2an+1，则S6= ﹣63 ． 【分析】先根据数列的递推公式可得{an}是以﹣1为首项，以2为公比的等比数列，再根据求和公式计算即可．

【解答】解：Sn为数列{an}的前n项和，Sn=2an+1，① 当n=1时，a1=2a1+1，解得a1=﹣1， 当n≥2时，Sn﹣1=2an﹣1+1，②， 由①﹣②可得an=2an﹣2an﹣1， ∴an=2an﹣1，

∴{an}是以﹣1为首项，以2为公比的等比数列， ∴S6=

故答案为：﹣63

15．（5分）（2018?新课标Ⅰ）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生

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=﹣63，

入选，则不同的选法共有 16 种．（用数字填写答案） 【分析】方法一：直接法，分类即可求出，

方法二：间接法，先求出没有限制的种数，再排除全是男生的种数． 【解答】解：方法一：直接法，1女2男，有C21C42=12，2女1男，有C22C41=4 根据分类计数原理可得，共有12+4=16种， 方法二，间接法：C63﹣C43=20﹣4=16种， 故答案为：16

16．（5分）（2018?新课标Ⅰ）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是

．

【分析】由题意可得T=2π是f（x）的一个周期，问题转化为f（x）在[0，2π）上的最小值，求导数计算极值和端点值，比较可得．

【解答】解：由题意可得T=2π是f（x）=2sinx+sin2x的一个周期， 故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x在[0，2π）上的值域， 先来求该函数在[0，2π）上的极值点， 求导数可得f′（x）=2cosx+2cos2x

=2cosx+2（2cos2x﹣1）=2（2cosx﹣1）（cosx+1）， 令f′（x）=0可解得cosx=或cosx=﹣1， 可得此时x=

，π或

；

，π或

）=﹣

和边界点x=0中取到，

，f（0）=0，

∴y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=计算可得f（

）=

，f（π）=0，f（，

∴函数的最小值为﹣故答案为：

．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。 17．（12分）（2018?新课标Ⅰ）在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．

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