近几年清华、北大自主招生数学试题

近年北大清华自主招生试题汇编

2010北大自主招生（三校联招） 1．（仅文科做）0????，求证：sin????tan?．（25分） 25?1．（25分） 22．AB为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB最长为3．AB为y?1?x2上在y轴两侧的点，求过AB的切线与x轴围成面积的最小值．（25分） 4．向量OA与OB已知夹角，OA?1，OB?2，OP?(1?t)OA，OQ?tOB，0≤t≤1．PQ1在t0时取得最小值，问当0?t0?时，夹角的取值范围．（25分）

55．（仅理科做）存不存在0?x?

2009北大自主招生数学试题

?，使得sinx,cosx,tanx,cotx为等差数列．（25分） 2 1 圆内接四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=3，DA=4。求圆半径。

2 已知一无穷等差数列中有3项：13，25，41。求证：2009为数列中一项。 3 是否存在实数x使tanx+（根3）与cotx+（根3）为有理数？ 4 已知对任意x均有acosx+bcos2x>=-1恒成立，求a+b的最大值

5 某次考试共有333名学生做对了1000道题。做对3道及以下为不及格，6道及以上为优秀。问不及格和优秀的人数哪个多？ 2008北大自主招生数学试题 1 求证：边长为1的正五边形对角线长为5?12 2 已知六边形AC1BA1CB1中AC1=AB1,BC1=BA1,CA1=CB1,∠A+∠B+∠C=∠A1+∠B1+∠C1 求证△ABC 面积是六边形AC1BA1CB1的一半。

a1?a2?a3?b1?b2?b33 已知

a1a2?a2a3?a3a1?b1b2?b2b3?b3b1min(a1,a2,a3)?min(b1,b2,b3)求证：max(a1,a2,a3)?max(b1,b2,b3)

4 排球单循坏赛 南方球队比北方球队多9支 南方球队总得分是北方球队的9倍 求证 冠

军是一支南方球队（胜得1分 败得0分）

5（理科）O-XYZ坐标系内 xoy平面系内0?y?2?x绕y轴旋转一周构成一个不透光立体 在点(1,0,1)设置一光源 xoy平面内有一以原点为圆心的圆C 被光照到的长度为2π 求C上未被照到的长度

2009年清华大学自主招生数学试题 设25?1的整数部分为a，小数部分为b 5?1?1?求a,b； ?2?求a2?b2?ab； 2bn?

2nb?b2??3?求lim?n??2．?1?x,y为实数，且x?y?1，求证：对于任意正整数n，x?y2n?122n?1

?2?a,b,c为正实数，求证：

abc???3，其中x,y,z为a,b,c的一种排列 xyz3．请写出所有三个数均为质数，且公差为8的等差数列，并证明你的结论

x2y24．已知椭圆2?2?1，过椭圆左顶点A??a,0?的直线L与椭圆交于Q，与y轴交于R，

ab过原点与L平行的直线与椭圆交于P 求证：AQ，2OP，AR成等比数列

5．已知sint?cost?1，设s?cost?isint，求f(s)?1?s?s?6．随机挑选一个三位数I

2sn

?1?求I含有因子5的概率；?2?求I中恰有两个数码相等的概率

7．四面体ABCD中，AB?CD，AC?BD，AD?BC

?1?求证：四面体每个面的三角形为锐角三角形；

?2?设三个面与底面BCD所成的角分别为?,?,?，求证：cos??cos??cos??1

8．证明当p,q均为奇数时，曲线y?x?2px?2q与x轴的交点横坐标为无理数 9．设a1,a2,2,a2n?1均为整数，性质P为： 对a1,a2,,a2n?1中任意2n个数，存在

一种分法可将其分为两组，每组n个数，使得两组所有元素的和相等 求证：a1,a2,,a2n?1全部相等当且仅当a1,a2,,a2n?1具有性质P

2009年清华大学自主招生数学试题（文科） 1．已知数列?an?，且Sn?na?n?n?1?

?1?求证：?an?是等差数列；

Sn?a,求2???nn???所在的直线方程 ?2．12名职员（其中3名为男性）被平均分配到3个部门

?1?求此3名男性被分别分到不同部门的概率； ?2?求此3名男性被分到同一部门的概率；

?3?若有一男性被分到指定部门，求其他2人被分到其他不同部门的概率

3．一元三次函数f?x?的三次项数为

a，f?x??9x?0的解集为?1,2? 3?1?若f?x??7a?0，求f?x?的解析式； ?2?若f?x?在

上单调增，求a的范围

4．已知PM?PN?22，M??2,0?，N?2,0?，求点P的轨迹W；直线y?k?x?2?与W交于点A、B，求SOAB（O为原点） 5．设a?x1?x2?nxn?n??

??xn?1?a??xn?a?

Sn??x1?a??x2?a???x2?a??x3?a???1?求证：S3?0

?2?求S4的最值，并给出此时x1，x2，x3，x4满足的条件 ?3?若S5?0，求x1，x2，x3，x4，x5不符合时的条件

2008届清华大学自主招生试题

1. 已知a,b,c都是有理数，a?b?c也是有理数，证明：a,b,c都是有理数；

2. （1）一个四面体，证明：至少存在一个顶点，从其出发的三条棱组成一个三角形； （2）四面体一个顶点处的三个角分别是所成的二面角；

3. 求正整数区间?m,n?(m?n)中，不能被3整除的整数之和； 4. 已知sin??cos??1?sin2?，求?的取值范围； 5. 若limf(x)?f(0)?1,f(2x)?f(x)?x，求f(x)；

x?02??23,,arctan2，求

?的面和arctan2的面36. 证明：以原点为中心的面积大于4的矩形中，至少还有两个格点。 2007清华大学自主招生数学试题

ex1.求f(x)?的单调区间及极值.

x2.设正三角形T1边长为a，Tn?1是Tn的中点三角形，An为Tn除去Tn?1后剩下三个三角形内切圆面积之和.求limn???Ak?1nk.

3.已知某音响设备由五个部件组成，A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道，其中每个部件工作的概率如下图所示.能听到声音，当且仅当A与B中有一工作，C工作，D与E中有一工作；且若D和E同时工作则有立体声效果.

D 0.94 A 0.90

C 0.95

B 0.95 E 0.94

求：（1）能听到立体声效果的概率； （2）听不到声音的概率. 4.(1)求三直线x?y?60，y?

1x，y?0所围成三角形上的整点个数； 2?y?2x?1? (2)求方程组?y?x的整数解个数.

2???x?y?60