教学内容：机械振动

学科：物理

教学内容：机械振动

【基础知识归纳】

1

2

（1）位移x：由平衡位置（2）振幅A

的次数．它们是表示振动快慢的物理量．二者互为倒数关系：

（3）周期T和频率f：物体完成一次全振动所需的时间叫周期，而频率则等于单位时间内完成全振动

T＝

1f

当Ｔ和f是由振动系统本身的性质决定时（非受迫振动），则叫做固有周期和固有频率．

二、简谐运动

1．简谐运动的特征

（1）受力特征： 回复力F＝－kx（2）运动特征：

加速度a＝－kx/m，方向与位移方向相反，总指向平衡位置．简谐运动是一种变加速运动．在平衡位置

时，速度最大，加速度为零；在最大位移处，速度为零，加速度最大． 判断一个振动是否为简谐运动，依据就是看它是否满足上述受力特征或运动特征．

（3）振动能量：对于两种典型的简谐运动——单摆和弹簧振子，其振动能量与振幅有关，振幅越大，

（4）物体做简谐运动时，其位移、回复力、加速度、速度等矢量都随时间做周期性变化，它们的变化

1周期就是简谐运动的周期T．物体的动能和势能也随时间周期性变化，其变化周期为22．单摆

T

（1）单摆：在一条不可伸长、忽略质量的细线下端拴一可视为质点的小球，上端固定，构成的装置叫

（2）单摆振动可看作简谐运动的例子：摆角α＜10°

（3）周期公式：T＝2π

其中摆长l

（5）单摆的应用：

lg

（4）单摆的等时性：在振幅很小的条件下，单摆的振动周期跟振幅无关．（单摆的振动周期跟振子的

A．计时器（摆钟是靠调整摆长而改变周期，使摆钟与标准时间同步）

4?2l2B．测重力加速度：g＝T3

（1）如图7—1—1所示为一弹簧振子做简谐运动的图象．它反映了振子的位移随时间变化的规律，而

图7—1—1

（2）根据简谐运动的规律

①振幅A、周期T以及各时刻振子的位置． ②各时刻回复力、加速度、速度、位移的方向．

③某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况．

④某段时间内振子的路程．

1．受迫振动：物体在周期性驱动力作用下的振动．做受迫振动的物体，它的周期或频率等于驱动力的

2．共振：做受迫振动的物体，它的固有频率与驱动力的频率越接近，其振幅就越大，当二者相等时，

【方法解析】

1．弹簧振子的周期和频率只取决于弹簧的劲度系数和振子的质量，与其放置的环境和放置的方式无任何关系．如某一弹簧振子做简谐运动时的周期为T，不管把它放在地球上、月球上还是卫星中；是水平放

置、倾斜放置还是竖直放置；振幅是大还是小，只要还是该振子，那么它的周期就还是T

2．单摆的周期公式T＝2π

lg是惠更斯从实验中总结出来的．单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向

并且指向平衡位置的分力，偏角越大回复力越大，加速度（gsinα）越大，由于摆球的轨迹是圆弧，所以除最高点外，摆球的回复力并不等于合外力．在有些振动系统中l不一定是绳长，g也不一定为9.8 m/s2，

（1）等效摆长：在图7—1—2中，三根等长的绳l1、l2、l3共同系住一密度均匀的小球m，球直径为D．l2、l3与天花板的夹角α＜30°．若摆球在纸面内做小角度的左右摆动，则摆动圆弧的圆心在O1处，故等效摆

d长为l1＋2，周期T1＝2π

d(l1?)/g2d＋2；若摆球做垂直纸面的小角度摆动，则摆动圆弧的圆心在O处，

故等效摆长为l1＋l2sinα，周期T2＝2π

d(l1?l2sin??)/g2

图7—1—2

（2）等效重力加速度：公式中的g由单摆所在的空间位置决定．

M2由GR＝g知，g随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相同，因此应求出单

摆所在处的等效值g′代入公式 ，即g不一定等于9．８ m/s2

【典型例题精讲】 ［例1］如图7—1—3

图7—1—3

（1）单摆的振幅为_________，频率为_________，摆长为_________；一周期内位移x（F回、a、Ep）

最大的时刻为_________

【解析】 由纵坐标的最大位移可直接读取振幅为3 cm．从横坐标可直接读取完成一个全振动即一个完整的

1正弦曲线所占据的时间轴长度就是周期T＝2 s，进而算出频率f＝TgT22＝0.5 Hz，算出摆长l＝4?

＝1 m

从图中看出纵坐标有最大值的时刻为0.5 s末和1.5 s

（2）若摆球从E指向G为正方向，α为最大摆角，则图象中O、A、B、C点分别对应单摆中的_______点．一周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是_______．势能增加且速度为正的时间范围

是_______

1【解析】 图象中O点位移为零，O到A的过程位移为正，且增大，A处最大，历时4O、A、B、C对应E、G、E、F

周期，显然摆

球是从平衡位置E起振并向G方向运动的，所以O对应E，A对应G．A到B的过程分析方法相同，因而

摆动中EF间加速度为正，且靠近平衡位置过程中加速度逐渐减小，所以是从F向E的运动过程，在

图象中为C到D的过程，时间范围是1.5 s～2.0 s间．

摆球远离平衡位置势能增加，即从E向两侧摆动，而速度为正，显然是从E向G的过程．在图象中为

从O到A，时间范围是0～0.5 s

（3

A．位移 B．速度

C．加速度

D．动量 E．动能 F

【解析】 过同一位置，位移、回复力和加速度不变；由机械能守恒知，动能不变，速率也不变，摆线

张力mgcosα

v2＋ml也不变；相邻两次过同一点，速度方向改变，从而动量方向也改变，故选B、D

如果有兴趣的话，可以分析一下，当回复力由小变大时，上述哪些物理量的数值是变小的?

1OE?（4）当在悬点正下方O′处有一光滑水平细钉可挡住摆线，且OE＝4_______s

．则单摆周期为

【解析】 放钉后改变了摆长，因此单摆周期应分成钉左侧的半个周期，前已求出摆长为1 m，所以t

左

＝π

lg＝1 s；钉右侧的半个周期，t右＝π

l4g＝0.5 s，所以T＝t左＋t右＝1.5 s.

v2由受力分析，张力F＝mg＋ml，因为钉挡绳前后瞬间摆球速度不变，球重力不变，挡后摆线长为

1挡前的4又做什么运动?

【解析】

（5）若单摆摆球在最大位移处摆线断了， 此后球做什么运动?若在摆球过平衡位置时摆线断了，摆球

在平衡位置线断，此时球有最大水平速度，

【说明】 针对本章的高考题主要为中、低档题，在学习过程中要把全部精力放在基本概念和基本规律的理解和应用上．做简谐运动的物体，其各物理量的变化情况具有周期性和对称性，在解题过程中要善

【设计意图】

［例2］一弹簧振子做简谐运动，周期为T

A．若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动位移的大小相等，方向相同，则Δt一定等于T

TB．若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动速度的大小相等，方向相反，则Δt一定等于2C．若Δt＝T，则在t时刻和（t＋Δt

TD．若Δt＝2，则在t时刻和（t＋Δt

【解析】 弹簧振子的运动具有周期性和对称性，因而很容易想到振子在振动过程中一些物理量的大小相等、方向相同，是周期性出现的；而经过半个周期后一些物理量则是大小相等、方向相反．但是上面想法的逆命题是否成立呢？即振子在振动过程中一些物理量前后两次大小相等、方向相同，一定是经过了一个周期的时间；一些物理量前后两次大小相等、方向相反，一定是经过了半个周期时间．如果我们选择开

解法1 如图7—1—4为一个弹簧振子的示意图，O为平衡位置，B、C为两侧最大位移处，D是B、

O

图7—1—4

对于A选项，当振子由D运动到B再回到D，振子两次在D处位移大小、方向都相同，所经历的时

间显然不为T，A

对于B选项，当振子由D运动到B再回到D，振子两次在D处运动速度大小相等、方向相反，但经

T过的时间不是2，可见选项B