2018版高考数学二轮复习第1部分重点强化专题专题6函数与导数第15讲函数与方程教学案理

第15讲 函数与方程

题型1 函数零点个数的判断 (对应学生用书第50页)

■核心知识储备………………………………………………………………………· 1．零点存在性定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 2．函数的零点与方程根的关系

函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．

■典题试解寻法………………………………………………………………………·

【典题1】 (考查数形结合法判断函数的零点个数)已知定义在R上的函数f(x)满足：①图象关于(1,0)点对称；②f(－1＋x)＝f(－1－x)；③当x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x，x∈[－1，0]，???π

cosx，x，1]，?2?( )

A．5 C．7

|x|

2

?1?则函数y＝f(x)－??在区间[－3,3]上的零点个数为

?2?

|x|

B．6 D．8

等价转化1??[思路分析] 函数y＝f(x)－??在区间[－3,3]上的零点个数――――→函数y＝f(x)

?2?数形结合?1?与函数y＝??在[－3,3]上的图象交点个数―――――→下结论．

?2?

[解析] 因为f(－1＋x)＝f(－1－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，

|x|

?1?又函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，如图，画出f(x)以及g(x)＝??在[－3,3]?2??1?上的图象．由图可知，两函数图象的交点个数为5，所以函数y＝f(x)－??在区间?2?

|x|

|x|

[－3,3]上的零点个数为5，故选A. [答案] A

x2

【典题2】 (考查应用零点存在性定理判断函数的零点个数)已知函数fn(x)＝xln x－

n(n∈N，e＝2.718 28…为自然对数的底数)．

(1)求曲线y＝f1(x)在点(1，f1(1))处的切线方程； (2)讨论函数fn(x)的零点个数. [解] (1)因为f1(x)＝xln x－x， 所以f1′(x)＝ln x＋1－2x， 所以f1′(1)＝1－2＝－1.

又f1(1)＝－1，所以曲线y＝f1(x)在点(1，f1(1))处的切线方程为y＋1＝－(x－1)，即y＝－x.

2

*

x2*

(2)令fn(x)＝0，得xln x－＝0(n∈N，x>0)，

n所以nln x－x＝0.

令g(x)＝nln x－x，则函数fn(x)的零点与函数g(x)＝nln x－x的零点相同． 因为g′(x)＝－1＝

nxn－x，令g′(x)＝0，得x＝n， x所以当x>n时，g′(x)<0；当00，

所以函数g(x)在区间(0，n]上单调递增，在区间[n，＋∞)上单调递减． 所以函数g(x)在x＝n处有最大值，且g(n)＝nln n－n.

①当n＝1时，g(1)＝ln 1－1＝－1<0，所以函数g(x)＝nln x－x的零点个数为0； ②当n＝2时，g(2)＝2ln 2－2<2ln e－2＝0，所以函数g(x)＝nln x－x的零点个数为0；

③当n≥3时，g(n)＝nln n－n＝n(ln n－1)≥n(ln 3－1)>n(ln e－1)＝0， 因为g(e)＝nln e－e<2n－4＝2n－(1＋3)<2n－?1＋3n＋－[1＋3n＋3n(n－1)]＝－n－1<0，且g(1)<0，

所以由函数零点的存在性定理，可得函数g(x)＝nln x－x在区间(1，n)和(n，＋∞)内都恰有一个零点．所以函数g(x)＝nln x－x的零点个数为2.

综上所述，当n＝1或n＝2时，函数fn(x)的零点个数为0；当n≥3且n∈N时，函数fn(x)的零点个数为2. [类题通法]

1.求函数零点个数的两种方法：

由函数零点存在性定理，结合函数的单调性判断；

*

2

2n2n2n2

n2n2

?

?

nn－

2

×9??<2n2

?

由函数的单调性及函数极值的正负来确定.

2.零点个数的讨论,对于不可求的零点，需要通过方程转化为初等函数的交点个数判断.

3.零点讨论中的参数,针对参数的讨论有两个方向：一是方程根的个数；二是参数对构造的初等函数图象形状的影响.

■对点即时训练………………………………………………………………………· 2＋2??，x≤1

1．已知函数f(x)＝?2

??|log2x－

个数是( ) A．4 C．6

B．5 D．7

x，x>1

3

，则函数F(x)＝f[f(x)]－2f(x)－的零点

2

3

A [(数形结合思想)令f(x)＝t，则函数F(x)可化为y＝f(t)－2t－，则函数F(x)

233

的零点问题可转化为方程f(t)－2t－＝0有根的问题．令y＝f(t)－2t－＝0，即

22

f(t)＝2t＋，如图(1)，由数形结合得t1＝0,1

当f(x)＝0时，x＝2，有1个解，当f(x)＝t2时，有3个解，所以F(x)＝f[f(x)]3

－2f(x)－共有4个零点．

2故选A.]

图(1) 图(2)

32

xxxxx??cos 2x在区间[－3,3]上零点的个数＋2．函数f(x)＝?1＋x－＋－＋…－2342 0162 017???

为( ) A．3 C．5

B．4 D．6

2342 0162 017

C [设函数g(x)＝1＋x－＋－＋…－＋，h(x)＝cos 2x，则f(x)＝

2342 0162 017

x2x3x4x2 016x2 017

g(x)h(x)，g′(x)＝1－x＋x2－x3＋…－x2 015＋x2 016＝(1－x)＋x2(1－x)＋…＋x2 014(1

－x)＋x＋x2 015

2 016

.当－3≤x≤1时，显然g′(x)≥0；g′(x)＝1＋x(x－1)＋x(x－1)＋…

3

(x－1)，当10，所以g(x)在区间[－3,3]上是增函数，

又g(－1)<0，g(0)＝1>0，所以g(x)在区间[－3,3]上有且只有1个零点x0∈(－1,0)，

π3πππ3π

且x0≠－.h(x)＝cos 2x在区间[－3,3]上有4个零点：－，－，，，

44444所以函数f(x)＝g(x)h(x)在区间[－3,3]上有5个零点．]

■题型强化集训………………………………………………………………………·

(见专题限时集训T2、T5、T6、T13、T14) 题型2 已知函数的零点个数求参数的取值范围

(对应学生用书第51页)

■核心知识储备………………………………………………………………………·

已知函数有零点(方程有根或图象有交点)求参数的值或取值范围常用的方法： ①直接法：直接根据题设条件构建关于参数的方程或不等式，再通过解方程或不等式确定参数的值或取值范围．

②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数最值问题加以解决．

③数形结合法：在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解． ■典题试解寻法………………………………………………………………………·

【典题1】 (考查已知函数的零点个数求参数范围)(2017·太原二模)已知f(x)＝xe，若函数g(x)＝f(x)－kf(x)＋1恰有四个零点，则实数k的取值范围是( )

A．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

2

2x?4e?B.?2，2＋?

?e4??4e?D．?2＋，＋∞? ?e4?

2

2

?8?C.?2，2?

?e?

2x求fx令fx＝t[思路分析] f(x)＝xe―――――→画f(x)的图象――――――→g(x)有四个零点

数形结合等价转化二次函数根的分布4??4??2――――→方程t－kt＋1＝0在?0，2?和?2，＋∞?各有1解――――――――→实数k?e??e?的取值范围．

[解析] (数形结合思想)f′(x)＝xe(x＋2)，令f′(x)>0，得f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)，令f′(x)<0，得f(x)的单调递减区间为(－2,0)，所以

xf(－2)＝4e－2>0为函数f(x)的极大值，f(0)＝0为函数f(x)的极小值，故f(x)≥0，

作出其函数图象如图所示．因为函数g(x)＝f(x)－kf(x)＋1恰有四个零点，令f(x)＝t，则关于t的方程t－kt＋1＝0有两个不相同的根，记为t1，t2，且0

－2

2

－2,

2

4e

??Δ＝k－4>0

??16e－4ke＋1<0

2

4e

，解得k>2＋，故选D.

e4

2

[答案] D