北京市六城区2019届高三一模数学（理）分类汇编之立体几何解答题Word版含答案

北京市六城区2019届高三一模数学(理)分类汇编之立体几何解答题Word版含答案

16．（本小题满分14分）

如图，在多面体ABCDEF中，梯形ADEF与平行四边形ABCD所在平面互相垂直， AF//DE，DE?AD，

AD?BE，AF?AD?1DE?1，AB?2. 2F E（Ⅰ）求证：BF//平面CDE； （Ⅱ）求二面角B?EF?D的余弦值； （Ⅲ）判断线段BE上是否存在点 Q，使得 平面CDQ?平面BEF？若存在，求 出BQ的值，若不存在，说明理由． BE解：（Ⅰ）由底面ABCD为平行四边形，知AB//CD，

又因为AB?平面CDE，CD?平面CDE， 所

CDE C 以

AB//平面

. ……………… 2分

同理AF//平面CDE， 又因为ABI 所

以

AF?A， 面

ABF//平平面

CDE. ……………… 3分

又因为BF?平面ABF，

以

BF// 所

CDE平面

. …………

…… 4分

（Ⅱ）连接BD,

因为平面ADEF?平面ABCD，平面ADEFI平

面ABCD?AD，DE?AD，

所以DE?平面ABCD. 则DE?DB. 又因为DE?AD，AD?BE，DEIBE?E， 所以AD?平面BDE，则AD?BD.

故DA,DB,DE两两垂直，所以以DA,DB,DE所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空

间

直

角

坐

标

系， ……………… 6分

则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(?1,1,0)，E(0,0,2)，

F(1,0,1)， 所以

DEFuuurBE?(0,?1,2),

uuurEF?(1,0,?1)，n?(0,1,0)为平面

的一个法向量.

uuurm?BE?0z E?y?2z?0,，得? ?x?z?0,?F 设平面BEF的一个法向量为m?(x,y,z)， 由

，

uuurm?EF?0 令z?1，得m?(1,2,1). ………………D C 8分 A B m?n6? 所以cos?m,n??|m. ||n|3x y 如图可得二面角B?EF?D为锐角，

所以二面角B?EF?D的余弦值为6. ………………10分 3

（Ⅲ）结论：线段BE上存在点Q，使得平面CDQ?平面BEF. ………………11分

证明如下： 设

uuuruuurBQ??BE?(0,??,2?)(??[0,1])uuuruuuruuurDQ?DB?BQ?(0,1??,2?)， .

所以

uuurDC?(?1,1,0)设平面CDQ的法向量为u?(a,b,c)，又因为， 所

?(1??)b?2?c?0,???a?b?0,以

uuuru?DQ?0，

uuuru?DC?0，即

……………… 12分 若平面CDQ?平面

BEF，则m?u?0，即

a?2b?c?0， ………… 13分 解得??1?[0,1]. 7所以线段BE上存在点Q，使得平面CDQ?1平面BEF，且此时BQ?. …… 14分 BE7

【东城】（17）（本小题 14 分）

如图，在棱长均为2的三棱柱ABC?ABC 中，点C

111