高中数学第二章圆锥曲线与方程2_2_2椭圆的几何性质一学案新人教B版选修2_1

2.2.2 椭圆的几何性质(一)

学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．

知识点一 椭圆的范围、对称性和顶点坐标

x2y2

思考1 观察椭圆2＋2＝1(a>b>0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎

ab样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？

思考2 在画椭圆图形时，怎样才能画的更准确些？

梳理 椭圆的简单几何性质

标准方程 焦点在x轴上 __________(a>b>0) 焦点在y轴上 ________(a>b>0) 图形 焦点坐标 对称性 关于x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称 顶点坐标 范围 长轴、短轴

A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) |x|≤____，|y|≤____ A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) |x|≤____，|y|≤____ 长轴A1A2长为____，短轴B1B2长为____ 知识点二 椭圆的离心率 思考 如何刻画椭圆的扁圆程度？

梳理 (1)椭圆的焦距与长轴长的比e＝______称为椭圆的离心率．

x2y2

(2)对于2＋2＝1，b越小，对应的椭圆越______，反之，e越接近于0，c就越接近于0，

ab从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当a＝b时，c＝0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x＋y＝a.(如图)

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类型一 由椭圆方程研究其简单几何性质

例1 求椭圆9x＋16y＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 引申探究

本例中若把椭圆方程改为“9x＋16y＝1”，求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．

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2

2

2

反思与感悟 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆

的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量． 跟踪训练1 求椭圆9x＋y＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．

类型二 椭圆几何性质的简单应用

命题角度1 依据椭圆的几何性质求标准方程

例2 如图所示，已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为10－5，求这个椭圆的方程．

2

2

反思与感悟 此类问题应由所给的几何性质充分找出a，b，c所应满足的关系式，进而求出

a，b，在求解时，需注意椭圆的焦点位置．

跟踪训练2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程： (1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；

(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.

命题角度2 对称性问题

例3 讨论方程xy＋xy＋xy＝1所表示的曲线关于x轴，y轴，原点的对称性．

反思与感悟 研究曲线关于x轴，y轴，原点的对称性，只需用“－y”代替方程中的“y”，用“－x”代替方程中的“x”，或同时代替，若方程不变，则得到相应的对称性． 跟踪训练3 曲线x－2y＋1＝0的对称轴为( ) A．x轴 C．直线y＝x 命题角度3 最值问题

例4 椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝33

，已知点P(0，)到椭圆上的22

B．y轴 D．无法确定

23

22

3

点的最远距离是7，求这个椭圆的方程．

反思与感悟 求解椭圆的最值问题的基本方法有两种

(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解；

(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值．常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．

跟踪训练4 已知点F1，F2是椭圆x＋2y＝2的左，右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，→→

那么|PF1＋PF2|的最小值是( ) A．0 B．1 C．2 D．22 类型三 椭圆离心率的求解

2

2

x2y2

例5 已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，斜率为k的直线l过左焦点F1

ab且与椭圆的交点为A，B，与y轴的交点为C，且B为线段CF1的中点，若|k|≤离心率e的取值范围．

反思与感悟 求e的取值范围有以下几个步骤： (1)切入点：已知|k|≤

14

，求e的取值范围，需建立关于e的不等式．(2)思考点：①e2

14

，求椭圆2

与k有什么关系？②建立e与k的等量关系式；③利用B在椭圆上且为CF1的中点，构建关于e与k的等式；④如何求e的范围？先用e表示k，再利用|k|≤14

，求e的取值范围．(3)2

解题流程：先写出l的方程，求出B点的坐标，由点B在椭圆上，建立e与k的关系式，再求e的范围．

x2y2

跟踪训练5 已知点P(m，4)是椭圆2＋2＝1(a>b>0)上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，

ab3

若△PF1F2的内切圆的半径为，则此椭圆的离心率为________．

2