质心参照系是将坐标原点固结在质点组质心上的运动的参照系

L??mi[(x0?x'i)(y0?yi')?(y0?y'i)(x0?xi')]i?(x0y0?y0x0)?mi?x0?miy'?y0?mixi'iii

?x0?miyi'?y0?mixi'??mi(xi'yi'?yi'xi')iii?m0(x0y0?y0x0)?x0m0y0'?y0m0x0'?x0m0y0'?y0m0x0'??mi(xi'yi'?yi'xi')

i式中x0'与y0'为质心相对于x'y'z'坐标系的坐标，x0'与y0'为质心相对于x'y'z'坐标系的速度;既然这坐标的原点就是质心，显然x0'=0，y0'=0；x0'=0，y0'=0.于是 L=m0(x0y0?y0x0)+

?m(xy'iii'i?yi'xi')，

''上式右方第一项为质心对于Z轴的动量矩L0，第二项则为质点系对于z轴的动量矩L，这样，

L?L0?L' (3.1)

，以上道理对于X轴或Y轴同样适用。一般地说，质点系对于某轴线的动量矩的动量矩L并不等于质心对于该轴线的动量矩L0，前者等于后者再加上质点系对于通过质心的平行轴的动量矩L.

参考系的选择

选取了非惯性参考系就应计入惯性力，而惯性力应该当做外力看待，在动量矩定理中必须计入惯性力的力矩，惯性力的力矩的计算往往比较麻烦，为了计算惯性力的力矩，通常选取惯性参考系或质心参照系。

所谓质心坐标系是跟随质心而平动的坐标系，并且就是以质心为原点。如质心的绝对加速度 a0?0，则质心坐标系也是惯性的，如a0?0则质心坐标系为非惯性的，各个质点分别受到惯性力，?mia0对于z轴的力矩为xi(?miy0)?yi(?mix0)因而惯性力系对Z’轴的力矩为Mz'?惯?''''=xi'(?miy0)?yi'(?mix0)

=x0

?myii'i?y0?mixi'

i??y0m0x0'?x0m0y0'

??y0m00?x0m00?0

于是，选择质心坐标系，就不必记及惯性力系的力矩。 动量矩守恒定律

如质点系各质点所受外力对于AB轴线的力矩的和为0，则2.8或2.9给出LAB?0或 内力的力矩不可能改变质点系的动量矩，这就是质点系对于AB轴线的动量矩守恒定律。 对于点的动量矩定理

微分形式的动量矩定理2.8对于x,y,z轴线都能成立，而且这三式可以合并为矢量式

L?M1?M2??MN (3.2)

这就是质点系对于O点的动量矩定理的微分形式。质点系各质点所受外力对于O点的力矩的和为零则Lt?t2?Lt?t1?0 (3.3)

，即质点系对于O点的动量矩不随时间而变，这称为质点系对于O点的动量矩守恒定律，另外38.5对于x,y,z轴线都能成立而且这三式可以合并为矢量式

L?L0?L' (3.4)

即质点系对于O点的动量矩L一般并不等于质心对于O点的动量矩L0，前者等于后者再加上质点系对于质心的动量矩L0，前者等于后者再加上质点系对于质心的动量矩L’。 动能定理

质点系包含N个质点，将质点的动能定理应用于质点系的每一点可得N个方程式

Ti,t?t2?Ti,t?t1?Wi外?Wi1?Wi2?(i?1,2,3,,N)?Wi,i?1?Wi,i?1??WiN, （3.5）

这里外是Wi外力对Fi于质点i所做的功为则Wik为内力Fik对质点i所做的功，内力所做的功不等于零，因此在累加中不仅出现外力所做的功，还出现内力所做的功

?Tii,t?t2??Ti,t?t1??Wi外???Wik （3.6）

iiik?i很自然地将质点系各质点动能的和定义为质点系的动能，以T记之。又将外力所做的功的和

?Wi外i.记作W，将内力所做功的和

外??Wik?iik记作W就成为

内Tt?t2?Tt?t1?W外?W内 （3.7）

质点系动能的增长即等于外力，内力对质点系所作功的总和，这就是质点系的动能定理。在动能定理中，不仅要考虑外力，还应考虑内力；内力可以改变质点系的动能。这是不同于动量定理与动量矩定理的。在动量定理与动量矩定理中，只需考虑外力；内力可以改变各个质点的动量或动量矩，却不能改变质点系的动量或动量矩。 质点系动能与质心的动能

2.5质点系的动量就等于其质心的动量。3.1指出质点系对于轴线的动量矩一般并不等于其质心对于该轴线的动量矩，前者等于后者再加上质点系对于通过质心的平行轴的动量矩。质点

系的动能一般也不等于其质心的动能；

11T??Ti??mivi2??miri?ri

i?1i2i2将质点i相对于质心的相对径矢ri?r0记作ri'则

N1T??mi(r0?ri')?(r0?ri')i2??11r0?r0?mi?r0?miri'??miri'?ri' 2iii211m0r0?r0?r0?m0r0'??miri'?ri'2i2式中r0'为质心的相对速度，这里所谓“相对”又是相对质心而言的，，从而显然r0'=0.于是

11T?m0vo2??mivi'2

2i2上式右方第一项为质心的动能T0，第二项为质点系相对于质心的相对动能T。即质点系的动能T一般并不等于质心的动能T0，前者等于后者再加上质点系相对于质心的相对运动动能T，

''T?T0?T' （3.8）

通常这称为柯尼希定理

将质点系的动能T划分为质心的动能T0与质点系相对于质心的动能T两部分，这样一种做法是有意的，例如在在光滑的冰面上，有人开车可能因为冰面太滑，车轮空转，车身不动，，如果把汽车和人作为整体来看，它保持不动，但它的动能也许相当大，从质点系的角度来看，汽车内部器件相对于其质心以较大速度运转，故有较大动能，由此我们看到各部分相对质心的动能T，它不反映汽车行驶的快慢。汽车质心的动能T0才反映汽车行驶的快慢；在此例中T0=0，对于两体问题，在质心坐标系中研究其动能表达式T?'''11m1v1'2?m2v2'2 22?11m1(v1?v0)?(v1?v0)?m2(v2?v0)?(v2?v0) 22以质心速度v0?(m1v1?m2v2)(m1?m2)代入，得

m1m21''21m22(v1?v2)?(v1?v2)1m12(v2?v1)?(v2?v1)'2?v?mv T?m1?m2222(m1?m2)22(m1?m2)2(m1?m2)'式中v'?v1?v2是质点1相对于质点2的相对速度，m?于是，对于两体问题柯尼希定理又可表为

'm1m2叫约化质量。

(m1?m2)T?T0?T'?11m0v02?m'v'2 （3.9） 22现在利用上式计算对心碰撞的能量损失，由于动量守恒，质心速度不变，从而T0不变，所以我们只需计算相对运动的动能T的改变。

'1''21'mv?m(u1?u2)2碰撞后的相对速度v'??e(u1?u2) 221''221'm'(u1?u2)2。 于是碰撞后的相对运动的动能T?mv?e22碰撞前的相对运动的动能T=

'因此，碰撞前后的动能改变；

1'??2m(u1?u2)2 （4.1）

对于完全弹性碰撞，e?1,?T?0,两球动能之和保持不变，这是一种理想化的极限情况。对于实际碰撞，e?1于是?T?0.这就是说动能是有所损失的。完全弹性碰撞的结果，两球

如?T??T?e?1'2完全恢复原状，内力在压缩阶段所做功与内力在恢复阶段所做功相抵消，两球动能之和保持不变。实际的碰撞结果，两球带残余变形，而球的变形需要做功，因而动能有所损失。 质心的“绝对”加速度a0=0，则质心坐标系也是惯性的，a0?0，则质心坐标系为非惯性的，它是具有加速度a0的平动坐标系，如选取质心坐标系，则所有质点普遍受到惯性力。现在来计算这样的惯性力所做的功。作用于质点i的惯性力为 ?mia0，这个力对质点i所作

'的功为?mia0?dri，这里ri'是质点i相对于质心的径矢。惯性力所做的功的和

?W?惯?=???mia0?dri'i=1?1?N?2????a0??midri'?1?i?2?

?????a0?d??miri'??i??1????a0?d?m0r0'??1??2??2?

选用质心坐标系，显然质心的径矢r0'?0，因而惯性力所做功的和

W?惯??2?=??1??a0?d?m0r0'??0，这样就不必记及惯性力所做的功

主要参考文献

[1] 李子元,力学,科学普及出版社，1985。

[2] 漆安慎,杜婵英等,力学,高等教育出版社，1997。

[3] 王其申,经典力学（上册）,中国科学技术大学出版社,2005。 [4] 张三慧,力学,清华大学出版社，1999。

[5] 刘华,对质心系角动量定理的讨论,《大学物理》第16卷第8期（1997）, [6] 冯胜奇. 质心参照系中两体碰撞问题的研究[J]. 物理通报 , 2001,(06) . [7] 梁志强,唐文校. 质心坐标系中的两体问题[J]. 泰安师专学报 , 2001,(03) .

Abstract: centroid coordinates is a movement which what makes origin coordinate linked the centroid of particle group. It is a special frame, even it is not in uniform motion (that is meaning it is not a inertial system).but, at the centroid coordinates, we can deduce a similar law of dynamics like at inertial system. This paper aims to summarize theorem of dynamics and conservation law ,give derivation process of the key theorem of dynamics and clarify the centroid coordinates’s concept as well as finding the position of centroid .At the same time, we try to deduce the expression of dynamics law and it’s conservation conditions when we analyze the particle group dynamics at centroid coordinates, including momentum theorem and conservation law, angular momentum theorem and it’s conservation law, Kinetic energy theorem , mechanical energy conservation law and so on.