通过L积分几何意义谈对黎曼积分的认识

通过L积分几何意义谈对黎曼积分的认识

徐加兰、吴棋、臧晓宇、闫祺 数学与应用数学13-1班

摘要:本文研究了黎曼积分的定义和性质，发现在实变函数里引入勒贝格积分可

以弥补黎曼积分的不足，由此提出了从测度、可测集、可测函数到勒贝格积分的定义.通过比较两者之间的定义、性质、几何关系等，讨论了勒贝格积分与黎曼积分的联系与区别，加深对黎曼积分的认识.

关键词:黎曼积分 勒贝格积分 外测度 可测集 可测函数 1黎曼积分 1.1 背景

微积分的萌芽、发生与发展，经历了一个漫长的时期.早在古希腊时期，欧多克索斯就提出了穷竭法.这使得古希腊数学家在所有论证中都不用“无穷小量”这个词，仅仅使用只需有限步可做到的穷竭法就够了.从16世纪中叶开始，微积分正式进入了酝酿阶段.现代数学史家波耶认为在所有微积分的先导工作中，费马和巴罗最接近于分析学.接下来，牛顿和莱布尼茨在17世纪下半叶终于创立了微积分学.牛顿和莱布尼茨得到以下公式：

即设F(x)是f(x)的不定积分，则有.牛顿将面积计算与求切线问题的互逆关系，明确地作为一般规律提出来，并将它作为建立微积分普遍算法的基础.20 世纪的分析学仍在大步前进，20 世纪初勒贝格开创了可列可加测度的积分论，即实变函数论，也称实分析.

1.2定义

函数f(x)在区间[a,b],上有定义,任意用分点

a=<<

<=b

,]，且小区间的长度

将区间[a,b]划分成n个小区间，每个小区间为[

?=-在每个小区间上任取一点，且(

，

≤≤),i=(1,2,?,n),作和式

记

如果当λ→0时,上述和式的极限存在,则称函数f(x)在区间[a,b],上可积,并称此极限值为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作

即

其中f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量,记号“∫”称为积分号,区间[a,b],称为积分区间,a与b分别称为积分下限和积分上限,和式

称为f(x)的积分和.

1.3性质

⒈（线性性）若f(x)是定义在[a,b]上的黎曼可积函数，K为常数，则Kf(x)在[a,b]上也黎曼可积，且有

⒉若f(x)，g(x)在[a,b]黎曼可积，则f(x)+g(x)，f(x)-g(x)，f(x)g(x)也在[a,b]黎曼可积. 注： ①

②综合以上两条

⒊（区域可加性）设有界函数f(x)在[a,c]，[c,b]上都黎曼可积，则f(x)在[a,b]上也黎曼可积，且有

⒋（单调性）f(x)，g(x)是定义在[a,b]上黎曼可积，且f(x)≤g(x)，则

⒌（可积必绝对可积）若f(x)在[a,b]上黎曼可积，则|f(x)|在[a,b]上也黎曼可积，且有

注：其逆命题不成立

⒍若f(x)在[a,b]上黎曼可积，则在[a,b]的任意内闭子区间[α，β]? [a,b]上也黎曼可积.且其积分值不会超过在[a,b]上的积分值.

⒎若f(x)是[a,b]上非负且连续的函数.若有

则f(x)在[a,b]上恒等于零.

⒏f(x)，g(x)在[a,b]黎曼可积，M=max{f(x)，g(x)}，m=min{f(x)，g(x)}在[a,b]黎曼可积.

⒐若f(x)在[a,b]上黎曼可积，在[a,b]上有定义且有界，则也在[a,b]上黎曼可积.

引子X2+1=0实数到复数，狄里克莱，P58,80,100

2勒贝格积分

实变函数论中核心的内容之一是建立在测度理论上的勒贝格积分理论，而测

度理论的核心是建立一般集合外测度.因而集合外测度概念是实变函数中的一个基本概念.目前实变函数论的各种教材中定义的集合外测度概念都是用开区间的长度( 面积，体积) 来定义的，因此我们首先给出勒贝格测度的定义.

2.1 外测度定

设E为中任一点集，对于每一列覆盖E的开区间

做出它的体积总和μ=（μ可以等于+∞，不同的区间列一般有不同的μ），所有这一切的μ组成一个下方有界的数集，他的下确界（完全由E确定）称为E的勒贝格外侧度，简称L外侧度或外侧度，记为m*E，即

m*E=

2.2.2 可测集定义

设E是中的点集,如果对任意一点集T都有：

m*T=m*(TE)+m*()

则称集E是L可测集.

2.2.3可测函数定

设f(x)是定义在可测集E实函数，如果对于任意实数α,E[f(x)>α]都是可测集，则称f(x)在E上是可测函数. 注：E[f(x)>α]={x|xf(x)>α].

2.2.4Lebesgue积分

（1）勒贝格积分定

定义1 设f(x)是定义在E上的可测函数，α

β，记=E{x:≤f(x)≤}(i=0,1,2,?,n),则{；i=1，2，…，n}是两两不相交的可测集，且有

E=，mE =．那么：

1)称S(D)= ，s(D)=分别为函数f(x)在分划D下的大和与小和； 2)称,I=分别为函数f(x)在E上的勒贝格积分与下积分.

3)若有界可测函数f(x)在E上的勒贝格上积分与下积分相等，则称函数f(x)在E上勒贝格可积，这个公共值称为f(x)在E上的勒贝格积分．记作(L).

注意：

1)定义在零测度集上的任何有界函数都是勒贝格可积，且勒贝格积分为零． 2)当分划加密时，小和不减，大和不增． 3)s(D)≤S(D)；I≤；s(D)≤I≤≤S(D).

（2）勒贝格积分性

⒈（有限可加性）设f(x)是有界可测集E 上的可积函数E=,等均可测且两两互不相

2.对于给定的可测函数f(x)，f(x)与|f(x)| 的可积性相同且

3.若f(x)，g(x)在E 上勒贝格可积，且f(x)≤g(x)几乎处处成立，则

4.f(x)是E 上的非负可积函数，则f(x)在E 上是几乎处处有限的.

5.(零测集上的积分)f(x)是E 上的非负可测函数，若f(x)在E 上几乎处处等于0，则

6.f(x)是E 上的勒贝格可积函数，f(x)≥0 在E 上几乎处处成立，则

7.设f(x)在E 上可测，若存在非负函数g(x)在可测集E上勒贝格可积，

|f(x)|≤g(x)几乎处处成立，则f(x)在可测集E上勒贝格可积.

8.f(x)在E 可测集上勒贝格可积，A 是E 的可测子集，则f(x)在A 上也勒贝格可积，且其积分值不会超过在E 上的积分值.

9.（线性性）设f(x)，g (x)是E 上的非负可测函数，α，β为非负常数，则αf(x)+βg(x)也在E 上可积，且

10.设f(x)在E 上可测，则的充要条件是f(x)=0 在E 上几乎处处成立. 11.（绝对连续性）设f(x)在有界可测集E 上勒贝格可积，则对?ξ>0，有δ>0，使得当me<δ (e?E) 时，有

12.设f(x)在E 可测集上勒贝格可积，则对?ξ>0，有连续函数g(x)，使得

13.设f(x)，g (x)在E 勒贝格可积，M=max{f(x)，g (x)}，m=min{f(x)，g(x)}在E 勒贝格可积.

14.若f(x)与g(x)在E 上几乎处处相等，则g(x)也可积，且

15.设f(x)在可测集E 上勒贝格可积函数，则其不定积分是绝对连续函数. 16.设f(x)为可测集E 上勒贝格可积函数，则存在绝对连续的函数g(x)，使得g(x)的导函数在E 上几乎处处等于f(x).

17.设是可测集E 上的两列非负简单函数，且对所有的x∈E，都单增收敛于相同的极限，则

3 比较两者定义，性质，加深对黎曼的理

3.1定义比较

由以上对黎曼函数和勒贝格的定义可以看出仅从函数分割的角度来说，黎曼积分和勒贝格积分大体上是相似的.f(x)在[a,b]上有界，然后分割T={a=x0

一理论把有界和无界的情形都考虑到，而且被积函数可以定义在更一般的点集上，不仅仅限于[a,b].然而就是这个差别，是两种积分的本质区别，勒贝格积分在经过改进后，具有了黎曼积分不具备的良好性质.

3.2可积条件的比较

黎曼可积的条件：定义在[a,b]上的函数f（x）黎曼可积的充分必要条件为f（x）在[a,b]上的一切间断电构成一个零测度集。

勒贝格的条件：f（x）是定义在可测集E上的有界函数，则f（x）在E上L可积的充要条件为f（x）在E上勒贝格可测。

我们从函数的黎曼可积和勒贝格可积的充要条件可以看出他们之间的不同，而且黎曼积分相对勒贝格积分有明显的局限性，从而勒贝格积分比黎曼积分的应用更为广泛，使用起来更加方便。从他们的充要条件可以得到如下结论：勒贝格积分是正常黎曼积分的推广，由此可见，勒贝格积分比黎曼积分向前进了一大步。

3.3性质比较

黎曼积分和勒贝格积分的可加性（区域可加性）不同由前面黎曼积分和勒贝格积分的性质知道，黎曼积分具有有限可加性，但没有可列可加性，而对于勒贝格积分，它不仅具有有限可加性，还具有可列可加性克服了黎曼积分的缺陷对于这两种积分的可加性不难理解，我们知道，黎曼积分建立在区间之上，而区间只有有限可加性，勒贝格积分建立在勒贝格测度之上，测度具有可列可加性，由于它们之间的密切联系，区间和勒贝格测度也就反映到相应的积分上来了.

参考文献

[1]吴亚敏.复合函数的勒贝格可积性研究[J].重庆文理学院学报：自然科学版，2010,29（1）：35-37.

[2]胡永模，周其生.实变函数中集合外测度三种等价定义的等价性[J].安庆师范学院学报：自然科学版，2015,21（3）：107-109.

[3]魏勇.可测函数的新定义及其优越性[J].西华师范大学数学与信息学院：高等数学研究，2009,12（1）：31-34.

[4]曹怀信.Lebesgue积分的新定义[J].安康学院学报，2010,22（6）：1-4.

[5] 顾滕.黎曼积分和勒贝格积分的比较[J].天津师范大学数学科学学院：科教文汇，2015,318:57-59.

[6] 王昆扬.关于Riemann 积分理论的本质缺陷及以Lebesgue 积分理论取代之的看法[J].数学教育学报，1999,8（3）：95-98.